Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти длину дуги кривой y=ln x, где х больше или равно корню из 3, но меньше или равно корню из 4.

Ответ:

Glados1

08.07.2020 12:56

Найдем производную у`=1/x
$L= \int\limits^2_ {\sqrt{3}} { \sqrt{1+(y`) ^{2} } } \, dx = \int\limits^2_{ \sqrt{3}} { \sqrt{1+( \frac{1}{x}) ^{2} } } \, dx = \int\limits^2_{ \sqrt{3} } { \sqrt{ \frac{ x^{2} +1}{ x^{2} } } } \, dx = \\ ,$

Вычислим интеграл с тригонометрической подстановки х= tg t
тогда dx= 1/(cos² t)
x²+1=tg² t +1= 1/(cos² t)

$\int\limits} { \sqrt{1+( \frac{1}{x} ) ^{2} } } \, dx = \int\limits { \frac{ \sqrt{tg ^{2}t+1 } }{tgt} } \, \frac{dt}{cos ^{2}t }= \int\limits { \frac{sint}{sin ^{2}t\cdot cos ^{2} t } } \, dt = \int\limits { \frac{d(cost)}{cos ^{2}t(cos ^{2}t-1) } } \,=$

$= \int\limits{ (\frac{1}{cos ^{2}t -1}- \frac{1}{cos ^{2}t } ) } \, d(cost)= \frac{1}{2}ln |\frac{cost-1}{cost+1}| + \frac{1}{cost} = \frac{1}{2}ln|tg \frac{t}{2}| + \frac{1}{cost}$

где t = arctg x

$L= \frac{1}{2} ln|tg \frac{arctg2}{2}|- \frac{1}{2}ln|tg \frac{arctg \sqrt{3} }{2}| } + \frac{1}{cos(arctg2)} - \frac{1}{cos(arctg \sqrt{3} )}$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Fae42

28.04.2022 12:08

Остей. Реши её приСр.2. Задачу решили с дерева возможностей. Реши её таблицы.для отдыха на природе изготовили о модели палаток четыруцветов: белая (б.), синяя (с.), жёлтая (ж.), красная...

DakotaDp

19.03.2021 13:38

1) {0,8x+0,3y=5 {2x-0,6y=-12){5/6 x+1/3 y=-1/3 {x+2/3 y=2/33) {5(2x-3y)=4x,{6x-4y=4(2x-1)-5...

svyatkin111

10.03.2020 03:07

Выполните действия 1,6*(-4,5) -135,2:(-6,5) -1 7/8*(1 1/3) 1 2/3:(-3 1/3)...

Мур214

31.08.2020 11:08

Даны функции f(x)=2x+3 и g(x)=x^2-4.Задайте формулой функцию 1)g(3x);2)f(g(x))...

peterick22

23.02.2023 12:01

Sin 2a/3, если а=240 градусов...

димон333777

17.03.2020 22:47

При каких значениях k двучлен −8k+10 принимает значения меньшие, чем 2?...

zamyatkinayowf0rc

14.09.2020 11:08

Расположи числа в порядке возрастания:0,173 0,82 0,439 0,5 0,5005 0,17 0,44 0,8003...

viktoriakruminaВика

21.01.2023 01:56

Твір на 6 речень з німецької мови sind die menschen daran schuld über umweltkatastrophen (чи є люди винні у природніх катастрофах) можна українською...

Kskdnrntbrjdjdk

21.01.2023 01:56

Водной воображаемой стране цифры и законы такие же, как у нас, но числовой ряд перепутан. точно известно, что в этой стране 2 7 9-9=7 1 2. зная это, выбери и отметь правильные равенства...

SamMary

28.01.2023 08:19

Утани было 50 марок . она наклеена в альбом 8 марок на каждую из 4 страниц . сколько осталось ненаклеенных марок ?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку