Найти общее решение дифференциального уравнения (1+x^2)y - вопрос №278737412273 от берта2904 14.02.2022 05:04

Question

Математика: Найти общее решение дифференциального уравнения (1+x^2)y +2xy =7x^3

берта2904 · Answer

Слева стоит полная производная от (1 + x^2)y'

((1 + x^2) y')' = 7x^3
(1 + x^2) y' = 7x^4 / 4 + C/4
y' = (7x^4 / 4 + C/4) / (1 + x^2) = (7x^4 + C) / 4(1 + x^2)

Выделим целую часть в дроби.
$\dfrac{7x^4 + C}{4(1 + x^2)}=\dfrac{7x^2(1+x^2)-7x^2+C}{4(1+x^2)}=\dfrac{7x^2}{4}-\dfrac{(7x^2+7)-7-C}{4(1+x^2)}=\dfrac{7x^2}{4}\\-\dfrac74+\dfrac{C+7}{4(1+x^2)}$

Интегрируя, получим
y = 7x^3 / 12 - 7/4 x + ((C + 7) arctg x) / 4 + D = 7x^3 / 12 - 7/4 x + c1 arctg x + c2
c1, c2 - произвольные константы.

Найти общее решение дифференциального уравнения (1+x^2)y''+2xy'=7x^3