На окружности отметили 2013 точек и каждую соединили с двумя соседними. также отметили центр окружности и соединили его со всеми остальными отмеченными точками. можно ли покрасить 1007 отмеченных точек в красный, а остальные 1007 — в синий цвет так, чтобы каждая красная точка была соединена с нечётным числом синих, а каждая синяя — с чётным числом синих?

ответ:Нельзя. Решение: Допустим, центр окружности красный. Тогда на окружности 1006 красных и 1007 синих точек, и потому там найдутся две синие точки, стоящие рядом. Но тогда и следующая за ними по часовой стрелке точка должна быть синей — иначе найдётся синяя точка, соединённая с одной синей. Продолжая рассуждение, получаем, что все точки, отмеченные на окружности, должны быть синими — противоречие. Допустим, центр окружности синий. Тогда на окружности найдутся две красные точки, стоящие рядом. Но тогда и следующая за ними по часовой стрелке точка должна быть красной — иначе найдётся красная точка, соединённая с двумя синими. Продолжая рассуждение, получаем, что все точки, отмеченные на окружности, должны быть красными — снова противоречие.