Из жести требуется изготовить 2-литровую цилиндрическую банку. при каких размерах этой банки на ее изготовление уйдет наименьшее количество материала? каково наименьшее количество жести,требующееся для изготовления банки?
Объем цилиндра с радиусом основания R и высотой H равен V = pi R^2 H
Площадь поверхности S = 2pi R^2 + 2pi R H
pi R^2 H = 2 H = 2/(pi R^2)
S(R) = 2pi R^2 + 4/R
Ищем минимальное значение S(R) при R>0. S'(R) = 4pi R - 4/R^2 = 0 R^3 = 1/pi R = pi^(-1/3) При 0<R<pi^(-1/3) S'(R)<0; при R>pi^(-1/3) S(R)>0, тогда R0 = pi^(-1/3) - точка минимума. H0 = 2 pi^(-1/3) = 2R0
V = pi R^2 H
Площадь поверхности
S = 2pi R^2 + 2pi R H
pi R^2 H = 2
H = 2/(pi R^2)
S(R) = 2pi R^2 + 4/R
Ищем минимальное значение S(R) при R>0.
S'(R) = 4pi R - 4/R^2 = 0
R^3 = 1/pi
R = pi^(-1/3)
При 0<R<pi^(-1/3) S'(R)<0; при R>pi^(-1/3) S(R)>0, тогда R0 = pi^(-1/3) - точка минимума.
H0 = 2 pi^(-1/3) = 2R0
S0 = 2pi R0 (R0 + H0) = 4pi R0^2 = 4pi^(1/3) дм^2