Відповідь:
Для вирішення даного диференціального рівняння другого порядку ми можемо скористатися методом варіації довільної сталої.
Позначимо y' = v. Тоді ми отримаємо два зв'язаних диференціальних рівняння:
v' + 2y' = 0 (1)
y' = v (2)
Підставимо вираз y' = v з рівняння (2) в рівняння (1):
v' + 2v = 0
Це рівняння можна вирішити шляхом розділення змінних:
dv/v = -2dx
Інтегруємо обидві частини:
ln|v| = -2x + C1
де C1 - це стала інтеграції.
Використовуючи вираз y' = v, отримуємо:
ln|y'| = -2x + C1
Піднесемо обидві частини до експоненти:
|y'| = e^(-2x + C1)
Розглядаючи абсолютну величину, ми можемо записати:
y' = ±e^(-2x + C1)
Де C1 - це довільна константа.
Тепер інтегруємо обидві частини рівняння:
∫ y' dx = ±∫ e^(-2x + C1) dx
y = ±∫ e^(-2x) * e^(C1) dx
y = ±e^(C1) * ∫ e^(-2x) dx
y = ±e^(C1) * (-1/2) * e^(-2x) + C2
де C2 - це інша константа інтегрування.
Таким чином, загальний розв'язок диференціального рівняння y'' + 2y' = 0 має вигляд:
y = ±Ce^(-2x) + D
де C = e^(C1) і D = C2.
Враховуючи початкові умови y(0) = 0 і y'(0) = 1, ми можемо знайти конкретні значення констант C і D.
Коли x = 0, ми маємо:
y(0) = ±Ce^(-2*0) + D = ±C + D = 0
y'(0) = -2C = 1
Відсиюємо, що -2C = 1, отже, C = -1/2.
Підставимо значення C у рівняння y(0) = ±
Покрокове пояснення:
Відповідь:
Для вирішення даного диференціального рівняння другого порядку ми можемо скористатися методом варіації довільної сталої.
Позначимо y' = v. Тоді ми отримаємо два зв'язаних диференціальних рівняння:
v' + 2y' = 0 (1)
y' = v (2)
Підставимо вираз y' = v з рівняння (2) в рівняння (1):
v' + 2v = 0
Це рівняння можна вирішити шляхом розділення змінних:
dv/v = -2dx
Інтегруємо обидві частини:
ln|v| = -2x + C1
де C1 - це стала інтеграції.
Використовуючи вираз y' = v, отримуємо:
ln|y'| = -2x + C1
Піднесемо обидві частини до експоненти:
|y'| = e^(-2x + C1)
Розглядаючи абсолютну величину, ми можемо записати:
y' = ±e^(-2x + C1)
Де C1 - це довільна константа.
Тепер інтегруємо обидві частини рівняння:
∫ y' dx = ±∫ e^(-2x + C1) dx
y = ±∫ e^(-2x) * e^(C1) dx
y = ±e^(C1) * ∫ e^(-2x) dx
y = ±e^(C1) * (-1/2) * e^(-2x) + C2
де C2 - це інша константа інтегрування.
Таким чином, загальний розв'язок диференціального рівняння y'' + 2y' = 0 має вигляд:
y = ±Ce^(-2x) + D
де C = e^(C1) і D = C2.
Враховуючи початкові умови y(0) = 0 і y'(0) = 1, ми можемо знайти конкретні значення констант C і D.
Коли x = 0, ми маємо:
y(0) = ±Ce^(-2*0) + D = ±C + D = 0
y'(0) = -2C = 1
Відсиюємо, що -2C = 1, отже, C = -1/2.
Підставимо значення C у рівняння y(0) = ±
Покрокове пояснення: