Щоб знайти похідну функції f(x) = (3x - x^2)^(3√x), скористаємося правилом диференціювання складеної функції та правилом диференціювання степеневої функції.Похідна функції f(x) визначається як добуток двох частин: похідної зовнішньої функції і похідної внутрішньої функції.Давайте обчислимо похідні:Для зовнішньої функції:
f₁(x) = u^v, де u = 3x - x^2 та v = 3√x
f₁'(x) = v * u^(v-1) * u'(x) + ln(u) * u^v * v'(x)Для внутрішньої функції:
u(x) = 3x - x^2
u'(x) = 3 - 2xv(x) = 3√x = x^(1/3)
v'(x) = (1/3) * x^(-2/3)Підставимо значення в формулу для зовнішньої функції:
f(x) = (3x - x^2)^(3√x).
Пошаговое объяснение:
Щоб знайти похідну функції f(x) = (3x - x^2)^(3√x), скористаємося правилом диференціювання складеної функції та правилом диференціювання степеневої функції.Похідна функції f(x) визначається як добуток двох частин: похідної зовнішньої функції і похідної внутрішньої функції.Давайте обчислимо похідні:Для зовнішньої функції:
f₁(x) = u^v, де u = 3x - x^2 та v = 3√x
f₁'(x) = v * u^(v-1) * u'(x) + ln(u) * u^v * v'(x)Для внутрішньої функції:
u(x) = 3x - x^2
u'(x) = 3 - 2xv(x) = 3√x = x^(1/3)
v'(x) = (1/3) * x^(-2/3)Підставимо значення в формулу для зовнішньої функції:
f₁'(x) = v * u^(v-1) * u'(x) + ln(u) * u^v * v'(x)
= (3√x) * (3x - x^2)^(3√x - 1) * (3 - 2x) + ln(3x - x^2) * (3x - x^2)^(3√x) * (1/3) * x^(-2/3)Отже, похідна функції f(x) = (3x - x^2)^(3√x) визначається як:
f'(x) = (3√x) * (3x - x^2)^(3√x - 1) * (3 - 2x) + ln(3x - x^2) * (3x - x^2)^(3√x) * (1/3) * x^(-2/3)Це є похідна функції f(x) = (3x - x^2)^(3√x).