Для розв'язання нерівностей з логарифмами, ми використовуємо властивості логарифмів та алгебраїчні перетворення. Давайте розв'яжемо кожну нерівність окремо:
4) (3 - 2x)log₀.₁x < 0: Звертаємо увагу, що основа логарифма ₀.₁ менше одиниці. Тому знак нерівності змінюється при множенні на від'ємне число. Ділимо обидві частини на (3 - 2x): log₀.₁x < 0.
Для отримання остаточного розв'язку, ми повинні враховувати області допустимості для кожної нерівності. Наприклад, в 2) ми маємо x² - 3x > 0, тому x ≠ 0 і x ≠ 3. Враховуючи це, можемо продовжити знаходження розв'язків для кожної нерівності окремо, застосовуючи властивості логарифмів та алгебраїчні перетворення.
1) log(x - 3(x - 1)) < 2:
Розкриваємо дужки:
log(x - 3x + 3) < 2,
log(-2x + 3) < 2.
2) log₃(x² - 3x + 3) > 1:
Переводимо до еквівалентної форми:
x² - 3x + 3 > 3¹,
x² - 3x + 3 > 3,
x² - 3x > 0.
3) log₀.₄x + log₀.₄(x - 1) ≥ log₀.₄(x + 3):
Об'єднуємо логарифми:
log₀.₄(x(x - 1)) ≥ log₀.₄(x + 3),
log₀.₄(x² - x) ≥ log₀.₄(x + 3).
4) (3 - 2x)log₀.₁x < 0:
Звертаємо увагу, що основа логарифма ₀.₁ менше одиниці. Тому знак нерівності змінюється при множенні на від'ємне число. Ділимо обидві частини на (3 - 2x):
log₀.₁x < 0.
Для отримання остаточного розв'язку, ми повинні враховувати області допустимості для кожної нерівності. Наприклад, в 2) ми маємо x² - 3x > 0, тому x ≠ 0 і x ≠ 3. Враховуючи це, можемо продовжити знаходження розв'язків для кожної нерівності окремо, застосовуючи властивості логарифмів та алгебраїчні перетворення.