(sin a + cos a)^2 - 1 = sin^2 a + 2sin a cos a + cos^2 a - 1
Теперь заметим, что sin^2 a + cos^2 a = 1 (тождество Пифагора для треугольника с катетами, равными sin a и cos a, и гипотенузой, равной единице), поэтому можем записать:
sin^2 a + 2sin a cos a + cos^2 a - 1 = 2sin a cos a = sin 2a
Начнем с левой стороны тождества:
(sin a + cos a)^2 - 1 = sin^2 a + 2sin a cos a + cos^2 a - 1
Теперь заметим, что sin^2 a + cos^2 a = 1 (тождество Пифагора для треугольника с катетами, равными sin a и cos a, и гипотенузой, равной единице), поэтому можем записать:
sin^2 a + 2sin a cos a + cos^2 a - 1 = 2sin a cos a = sin 2a
Таким образом, доказали тождество:
(sin a + cos a)^2 - 1 = sin 2a