1. Преобразуем числитель по формуле сумма синусов:
sin(3x) + sin(x)=2 * sin(2x) * cos(x) = ...
2. sin(2x) распишем как синус двойного угла:
... = 2 * 2 * sin(x) * cos(x) * cos(x) = 4 * sin(x) * cos^2(x)
3. Возвращаемся к пределу. Переписываем числитель в преобразованном виде и сокращаем числитель и знаменатель на 2:
lim(x->0)(4 * sin(x) * cos^2(x)/2x) = lim(x->0)(2 * sin(x) * cos^2(x)/x)
4. По основному тригонометрическому тождеству запишем cos^2(x) как 1-sin^2(x)
5. Так как х->0, то произведём эквивалентности: sin(x)~x, sin^2(x)~x^2, затем подставим их в предел и сократим на х:
lim(x->0)(2x(1-x^2)/x)=lim(x->0)(2-2x^2)
6. Вычисляем предел, полагая х=0:
lim(x->0)(2-2x^2)=lim(x->0)(2-2* 0^2)=lim(x->0)(2-0)=2
ответ: 2.
1. Преобразуем числитель по формуле сумма синусов:
sin(3x) + sin(x)=2 * sin(2x) * cos(x) = ...
2. sin(2x) распишем как синус двойного угла:
... = 2 * 2 * sin(x) * cos(x) * cos(x) = 4 * sin(x) * cos^2(x)
3. Возвращаемся к пределу. Переписываем числитель в преобразованном виде и сокращаем числитель и знаменатель на 2:
lim(x->0)(4 * sin(x) * cos^2(x)/2x) = lim(x->0)(2 * sin(x) * cos^2(x)/x)
4. По основному тригонометрическому тождеству запишем cos^2(x) как 1-sin^2(x)
5. Так как х->0, то произведём эквивалентности: sin(x)~x, sin^2(x)~x^2, затем подставим их в предел и сократим на х:
lim(x->0)(2x(1-x^2)/x)=lim(x->0)(2-2x^2)
6. Вычисляем предел, полагая х=0:
lim(x->0)(2-2x^2)=lim(x->0)(2-2* 0^2)=lim(x->0)(2-0)=2
ответ: 2.