Найти точку минимума функции y = x^x

ответ: 1/е

Пошаговое объяснение:

ОДЗ х∈(0;+∞);

прологарифмируем обе части, они положительны, ㏑у=㏑(x^x);

㏑у=х㏑(x);

возьмем производную от обеих частей.

у'/y=㏑x+x/x

y'=(㏑x+1)*y;

y'=(㏑x+1)*(x^x); x^x≠0;

y'=0, если ㏑x+1=0, ㏑x=-1⇒х=е⁻¹; х=1/е

установим знаки, при переходе через критическую точку 1/е;

___01/е

           -                                     +

поэтому х=1/е- точка минимума.

ответ:    .

Найдём стационарные (критические) точки.

Знаки  y':

Так как производная меняет знак c минуса на плюс, то имеем точку минимума    .