Для начала, чтобы найти первообразную F(x) функции f(x), нам нужно применить метод интегрирования. В данном случае, мы можем воспользоваться методом замены переменной.
Шаг 1: Замена переменной
Для начала, заменим выражение в скобках (2-5x) на t. Тогда получим новое уравнение t = 2-5x.
Теперь продифференцируем обе части последнего уравнения по переменной x, чтобы получить dt/dx = -5.
Шаг 2: Замена переменной в исходной функции
Теперь, зная, что dt/dx = -5, можно выразить dx через dt. Разделим обе части соотношения dt/dx = -5 на -5, получим dt/dx = 1/-5.
Отсюда, выразим dx через dt: dx = (dt/-5).
Используя новую переменную t и выражение для dx, заменим исходную функцию:
f(x) = 3/(2-5x)^3 теперь будет выглядеть как f(t) = 3/t^3 * (-5).
Шаг 3: Интегрирование новой функции
Теперь мы можем рассмотреть новую функцию f(t) = 3/t^3 * (-5) и найти ее первообразную F(t).
Так как у нас есть степень t в знаменателе, то мы можем использовать стандартную формулу для интегрирования степеней:
Для начала, чтобы найти первообразную F(x) функции f(x), нам нужно применить метод интегрирования. В данном случае, мы можем воспользоваться методом замены переменной.
Шаг 1: Замена переменной
Для начала, заменим выражение в скобках (2-5x) на t. Тогда получим новое уравнение t = 2-5x.
Теперь продифференцируем обе части последнего уравнения по переменной x, чтобы получить dt/dx = -5.
Шаг 2: Замена переменной в исходной функции
Теперь, зная, что dt/dx = -5, можно выразить dx через dt. Разделим обе части соотношения dt/dx = -5 на -5, получим dt/dx = 1/-5.
Отсюда, выразим dx через dt: dx = (dt/-5).
Используя новую переменную t и выражение для dx, заменим исходную функцию:
f(x) = 3/(2-5x)^3 теперь будет выглядеть как f(t) = 3/t^3 * (-5).
Шаг 3: Интегрирование новой функции
Теперь мы можем рассмотреть новую функцию f(t) = 3/t^3 * (-5) и найти ее первообразную F(t).
Так как у нас есть степень t в знаменателе, то мы можем использовать стандартную формулу для интегрирования степеней:
∫ 1/t^n dt = -1 / (n-1) * t^(n-1), где n ≠ 1.
Применяя эту формулу, получим:
F(t) = (-1/(3-1)) * t^(3-1) * (-5) = -(1/2) * t^2 * (-5) = (5/2) * t^2.
Шаг 4: Обратная замена переменной
Теперь, вспомним переменную, которую мы использовали для замены в начале (t = 2-5x).
Для завершения решения, выполним обратную замену переменной, подставив t = 2-5x в полученное выражение для F(t):
F(x) = (5/2) * (2-5x)^2.
Таким образом, первообразная F(x) функции f(x) = 3/(2-5x)^3 равна (5/2) * (2-5x)^2.
Таким образом, ответ можно представить следующим образом:
F(x) = (5/2) * (2-5x)^2.