Баскетболист бросает мяч в корзину до первого попадания, но ему разрешается сделать не более пяти бросков. Постройте ряд распределения случайного числа сделанных промахов. Чему равна вероятность, что число сделанных промахов будет нечётным, если вероятность попадания при одном броске у этого баскетболиста равна p=0,6?
Пусть X - случайная величина, обозначающая число сделанных промахов. Возможные значения X могут быть от 0 до 5, так как игрок может сделать от 0 до 5 промахов.
Теперь посчитаем вероятность каждого значения X.
1) X = 0: это означает, что игрок не сделал ни одного промаха. Вероятность этого равна (1-p) ^ 5, так как игрок должен промахнуться в каждой из 5 попыток.
2) X = 1: это означает, что игрок сделал 1 промах. Вероятность этого равна 5 * p * (1-p) ^ 4, так как игрок должен попасть в одной из пяти попыток, а остальные четыре попытки он должен промахнуться.
3) X = 2: это означает, что игрок сделал 2 промаха. Вероятность этого равна 10 * p^2 * (1-p) ^ 3, так как игрок должен попасть в двух из пяти попыток, а остальные три попытки он должен промахнуться.
4) X = 3: это означает, что игрок сделал 3 промаха. Вероятность этого равна 10 * p^3 * (1-p) ^ 2, так как игрок должен попасть в трех из пяти попыток, а остальные две попытки он должен промахнуться.
5) X = 4: это означает, что игрок сделал 4 промаха. Вероятность этого равна 5 * p^4 * (1-p), так как игрок должен попасть в четырех из пяти попыток, а последнюю попытку он должен промахнуться.
6) X = 5: это означает, что игрок сделал 5 промахов. Вероятность этого равна p^5, так как игрок должен промахнуться во всех пяти попытках.
Теперь мы построили ряд распределения случайного числа сделанных промахов:
X | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
P(X) | | | | | | |
Вероятности P(X) для каждого значения X:
P(X=0) = (1-p)^5
P(X=1) = 5 * p * (1-p)^4
P(X=2) = 10 * p^2 * (1-p)^3
P(X=3) = 10 * p^3 * (1-p)^2
P(X=4) = 5 * p^4 * (1-p)
P(X=5) = p^5
Теперь, чтобы найти вероятность того, что число сделанных промахов будет нечетным, нужно сложить вероятности для всех нечетных значений X:
P(X нечетное) = P(X=1) + P(X=3) + P(X=5)
Подставляем значения из ряда распределения:
P(X нечетное) = 5 * p * (1-p)^4 + 10 * p^3 * (1-p)^2 + p^5
Теперь подставляем p=0,6:
P(X нечетное) = 5 * 0,6 * (1-0,6)^4 + 10 * 0,6^3 * (1-0,6)^2 + 0,6^5
Высчитываем значения:
P(X нечетное) = 5 * 0,6 * 0,4^4 + 10 * 0,6^3 * 0,4^2 + 0,6^5
P(X нечетное) ≈ 0,07776 + 0,3456 + 0,07776
P(X нечетное) ≈ 0,50112
Итак, вероятность того, что число сделанных промахов будет нечетным, при условии p=0,6, равна примерно 0,50112 или около 50,11%.