Войти Регистрация Спроси ai-bota

Вычислить определители методом рекуррентных соотношений

Вычислить определители методом рекуррентных соотношений

Ответ:

martin37

13.02.2022 13:16

Разложим определитель по последней строке:

$D_n=(-1)^{n+2}\cdot\begin{vmatrix}1&1&1&\ldots&1&1\\a_1&0&0&\ldots&0&0\\0&a_2&0&\ldots&0&0\\\hdotsfor{6}\\0&0&0&\ldots&0&0\\0&0&0&\ldots&a_{n-1}&0\end{vmatrix}+a_nD_{n-1},$

а получившийся определитель - по последнему столбцу:

$D_n=(-1)^{n+2}\cdot(-1)^{n+1}\cdot\begin{vmatrix}a_1&0&0&\ldots&0\\0&a_2&0&\ldots&0\\ \hdotsfor{5}\\0&0&0&\ldots&0\\0&0&0&\ldots&a_{n-1}\end{vmatrix}+a_nD_{n-1}=$

$= -a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{n-1}+a_nD_{n-1}.$

Поскольку $D_1=-1;\ D_2=-a_1-a_2,$ а по рекуррентному соотношению

$D_3=-a_1\cdot a_2+a_3D_2=-a_2\cdot a_3-a_1\cdot a_3-a_1\cdot a_2,$ естественно выдвинуть гипотезу, что $D_n= -a_2\cdot a_3\cdot\ldots\cdot a_n-\sum\limits_{i=2}^{n-1}a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{i-1}\cdot a_{i+1}\cdot \ldots \cdot a_n-a_1\cdot a_2\cdot \ldots\cdot a_{n-1}.$

Докажем ее. Для n=2 и n=3 гипотеза верна. Пусть она верна при некотором n=k>1, тогда

$D_{k+1}=-a_1\cdot a_2 \cdot \ldots\cdot a_{k}+a_{k+1}(-a_2\cdot a_3\cdot \ldots a_k-\sum\limits_{i=2}^{k-1}a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_{i-1}\cdot a_{i+1}\cdot\ldots\cdot a_k - a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{k-1})=$

$=-a_2\cdot a_3\cdot \ldots \cdot a_{k+1}-\sum\limits_{i=2}^{k}a_1\cdot a_2\cdot \ldots \cdot a_{i-1}\cdot a_{i+1}\cdot \ldots\cdot a_{k+1}-a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_k.$

Гипотеза доказана.

Кстати, если все числа $a_i,\ i=1;\ 2,\ \ldots, n$ не равны нулю, ответ можно записать в виде

$D_n=-\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{a_1\cdot a_2\cdot\ldots \cdot a_n}{a_i}.$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

catarshaninp08iio

28.10.2021 17:19

Виконай дії: 1) 7 цілих 3/4 – 2 цілих 5/6 – 3 цілих 3/82) 10 цілих 8/15 – 4 цілих 1/12 – 5 цілих 7/20...

tskripko

06.06.2022 00:37

0,(2)7 переведите в рбыкновенную дробь. Очень нужно завтра в восемь урок...

gregoryan2001

06.06.2022 00:37

Y = sin x функцияның анықталу аймағы...

krisgyseva

07.04.2020 13:57

7.диаметр круга 20 (п3). a) Найдите длину окружности. b) найдите площадь круга....

Кatе

24.05.2023 23:05

ваня нарисовал граф в виде клетчатой таблицы 3Х5. узлы этой таблицы-вершины графа, отрезки длины один-ребра графа. в получившемся графе 8 вершин степени 4. сколько вершин степени...

fukk123Q

13.08.2021 01:08

банк винни-пух и Пятачок начисляет своим вкладчикам по 10% ежемесячно .Иа сделал вклад в жтот банк в размпре 100 рублей сколько он сможет снять со своего счета через 2 месяца...

omon3565

13.08.2021 01:08

У бібліотеці на 1 полиці 57 книжок,а на іншій 52 кижки.З 1 полиці взяли 9 книжок,а з другоЇ 7 кижок.Скільки всього книжок залишилось на полиці....

катябабаева

08.12.2022 11:47

Если знаете на все 4 примера,напишите Представить в виде степени с рациональным показателем:...

vlad0805

12.02.2021 00:13

Розвяжіть рівняння 19х=25...

yanapetelyakp070y8

16.04.2023 00:04

Решите уравнение и выполните проверку...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку