Чтобы доказать иррациональность числа log4 3, мы должны предположить обратное — что число log4 3 является рациональным. Предположим, что log4 3 = p/q, где p и q — целые числа, и q ≠ 0.
Используя свойства логарифмов, мы можем переписать уравнение в виде 3 = 4^(p/q). Теперь возведем обе части уравнения в степень q, чтобы избавиться от знака логарифма:
3^q = (4^(p/q))^q
3^q = 4^p
Теперь обратим внимание на правую часть уравнения. Заметим, что 4 можно представить как 2^2, поэтому мы можем переписать уравнение как:
Таким образом, мы получили, что (3^q)^2 является четным числом (так как 2^(4p) всегда будет четным, а 3^q есть иррациональное число). Заметим, что квадрат любого нечетного числа будет также нечетным числом, поэтому (3^q)^2 не может быть четным.
Из этого следует противоречие — предположение о том, что log4 3 является рациональным числом, было неверным. Таким образом, мы доказали, что log4 3 является иррациональным числом.
Используя свойства логарифмов, мы можем переписать уравнение в виде 3 = 4^(p/q). Теперь возведем обе части уравнения в степень q, чтобы избавиться от знака логарифма:
3^q = (4^(p/q))^q
3^q = 4^p
Теперь обратим внимание на правую часть уравнения. Заметим, что 4 можно представить как 2^2, поэтому мы можем переписать уравнение как:
3^q = (2^2)^p
3^q = 2^(2p)
(3^q)^2 = (2^(2p))^2
(3^q)^2 = 2^(4p)
Таким образом, мы получили, что (3^q)^2 является четным числом (так как 2^(4p) всегда будет четным, а 3^q есть иррациональное число). Заметим, что квадрат любого нечетного числа будет также нечетным числом, поэтому (3^q)^2 не может быть четным.
Из этого следует противоречие — предположение о том, что log4 3 является рациональным числом, было неверным. Таким образом, мы доказали, что log4 3 является иррациональным числом.