Математика: с тригонометрическим уравнением А) sin(x+п/6)sin (х-п/6)+1=3/4 Б) [-п/2;п)

с тригонометрическим уравнением А) sin(x+п/6)sin (х-п/6)+1=3/4
Б) [-п/2;п)

Ответ:

egoskulik2015

05.01.2024 09:26

Добрый день! Конечно, я помогу вам с задачей.

Перейдем к решению каждой части задачи:

А) sin(x+π/6)sin(x-π/6) + 1 = 3/4

1. Раскроем скобки, используя формулу двойного угла для синуса:
sin(x+π/6)sin(x-π/6) = (sin(x)cos(π/6) + cos(x)sin(π/6))(sin(x)cos(π/6) - cos(x)sin(π/6)) = (sin(x)cos(π/6))^2 - (cos(x)sin(π/6))^2 = (1/2sin(x))^2 - (1/2cos(x))^2 = 1/4(sin(x))^2 - 1/4(cos(x))^2 = 1/4(sin(x))^2 - 1/4(1 - (sin(x))^2) = 1/4(sin(x))^2 - 1/4 + 1/4(sin(x))^2 = 1/2(sin(x))^2 - 1/4

2. Подставим получившееся выражение в исходное уравнение:
1/2(sin(x))^2 - 1/4 + 1 = 3/4

3. Приведем выражение к общему знаменателю:
2/4(sin(x))^2 - 1/4 + 2/4 = 3/4

4. Упростим выражение:
2/4(sin(x))^2 + 1/4 = 3/4

5. Перенесем 1/4 на другую сторону:
2/4(sin(x))^2 = 3/4 - 1/4
2/4(sin(x))^2 = 2/4

6. Сократим дроби на обеих сторонах:
(sin(x))^2 = 1

7. Извлечем корень из обеих частей уравнения:
sin(x) = ±1

8. Решим уравнение:
a) sin(x) = 1:
x = π/2 + 2kπ, где k - целое число
b) sin(x) = -1:
x = 3π/2 + 2kπ, где k - целое число

Итак, решением уравнения являются значения: x = π/2 + 2kπ и x = 3π/2 + 2kπ, где k - произвольное целое число.

Б) Решаем с теми же шагами:
-π/2 ≤ x < π

1. Аналогично раскрываем скобки и получаем:
sin(x+π/6)sin(x-π/6) + 1 = 3/4

2. Упрощаем выражение:
1/2(sin(x))^2 - 1/4 = 3/4

3. Переносим 1/4 на другую сторону и получаем:
2/4(sin(x))^2 = 3/4 - 1/4
2/4(sin(x))^2 = 2/4

4. Сокращаем дроби и получаем:
(sin(x))^2 = 1

5. Извлекаем корень и получаем:
sin(x) = ±1

6. Решаем уравнение:
a) sin(x) = 1:
x = π/2 + 2kπ, где k - целое число
b) sin(x) = -1:
x = 3π/2 + 2kπ, где k - целое число

Однако, в данной задаче указано, что x находится в интервале [-π/2, π), поэтому отбираем только те значения, которые удовлетворяют этому условию.

Итак, решением уравнения в данном интервале являются значения: x = π/2 + 2kπ, где k - произвольное целое число.

Надеюсь, я смог объяснить решение задачи понятно. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика