В
Все
У
Українська література
Г
Геометрия
Д
Другие предметы
Э
Экономика
Г
География
О
ОБЖ
М
Математика
М
МХК
Х
Химия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
У
Українська мова
О
Обществознание
Ф
Физика
А
Английский язык
А
Алгебра
И
История
Б
Беларуская мова
Б
Биология
М
Музыка
П
Право
И
Информатика
П
Психология
В
Видео-ответы
Н
Немецкий язык
Ф
Французский язык
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
Kat11166
Kat11166
16.04.2023 03:30 •  Математика

Найти предел функций двух переменных 88 и 91


Найти предел функций двух переменных 88 и 91

Ответ:
Черепашка312
Черепашка312
24.08.2021 01:00

88) e; 91) 0

Пошаговое объяснение:

88) Перейдем к полярным координатам:

\lim\limits_{x\to 0,y\to 0} (1+x^2+y^2)^{\frac{1}{x^2+y^2}}=\left[x=r\cos\varphi, y=r\sin\varphi\right]=\lim\limits_{r\to 0} (1+r^2)^{\frac{1}{r^2}}=e

91) Для достаточно больших значений y [на самом деле, можно явно указать, что |y|≥1, но такая конкретика здесь не важна] верно y^4\geq y^20.

Тогда x^2+y^4\geq x^2+y^20\Rightarrow (x^2+y^4)^2\geq (x^2+y^2)^20, откуда, с учетом неравенства о средних, (x^2+y^4)^2\geq (2|xy|)^2=4(xy)^2

Но тогда

\dfrac{(x+y)^2}{(x^2+y^4)^2}\leq \dfrac{(x+y)^2}{4(xy)^2}=\underbrace{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}\right)^2}_{g(x)}

Очевидно, \lim\limits _{x\to\infty,y\to\infty}g(x)=0. При этом \dfrac{(x+y)^2}{(x^2+y^4)^2}\geq 0

Значит,

0\leq \lim\limits _{x\to\infty,y\to\infty}\dfrac{(x+y)^2}{(x^2+y^4)^2}\leq 0\Rightarrow \lim\limits _{x\to\infty,y\to\infty}\dfrac{(x+y)^2}{(x^2+y^4)^2}=0

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?