Пусть НОД(u²+v²,uv)>1, и p - общий простой делитель этих выражений. Поскольку u и v взаимно простые, у них нет общих делителей (кроме 1), поэтому p - делитель одного из них, но не делитель другого. Пусть, для определенности, u делится на p, а v не делится на p. Поскольку
u²+v² делится на p и u (а тогда и u²) делится на p, то и их разность
(u²+v²)-u²=v² делится на p, а поскольку p простое число, v также делится на p. Полученное противоречие доказывает утверждение.
Пусть НОД(u²+v²,uv)>1, и p - общий простой делитель этих выражений. Поскольку u и v взаимно простые, у них нет общих делителей (кроме 1), поэтому p - делитель одного из них, но не делитель другого. Пусть, для определенности, u делится на p, а v не делится на p. Поскольку
u²+v² делится на p и u (а тогда и u²) делится на p, то и их разность
(u²+v²)-u²=v² делится на p, а поскольку p простое число, v также делится на p. Полученное противоречие доказывает утверждение.