Войти Регистрация Спроси ai-bota

решить интеграл тригонометрической функции: $\int\limits {\frac{cos^4x}{sin^3x} } \, dx$ . ответ должен получиться: $- \frac{3}{2} cos x - \frac{cos^3x}{2sin^2x} - \frac{3}{2} ln|tg\frac{x}{2} | + C$

Ответ:

помощьнужнв

27.07.2021 18:26

$\displaystyle \int \frac{cos^4x}{sin^3x}\, dx=\int \frac{(cos^2x)^2}{sin^3x}\, dx=\int \frac{(1-sin^2x)^2}{sin^3x}\, dx=\int \frac{1-2sin^2x+sin^4x}{sin^3x}\, dx=\\\\\\=\int \Big(\frac{1}{sin^3x}-\frac{2}{sinx}+sinx\Big)\, dx=\frac{1}{2}\, ln\Big|tg\frac{x}{2}\Big|-\frac{cosx}{2sin^2x} -2\, ln\Big|tg\frac{x}{2}\Big|-cosx+C=\\\\\\=-\frac{3}{2}\, ln\Big|tg\frac{x}{2}\Big|-\frac{cosx}{2sin^2x}-sinx+C\ ;$

$\star \ \ \displaystyle \int \frac{dx}{sin^3x}=\int \frac{sin^2x+cos^2x}{sin^3x}\, dx=\int \frac{dx}{sinx}+\int \frac{cos^2x}{sin^3x}\, dx=\\\\\\=\int \frac{dx}{2sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}}+\int \underbrace {cosx}_{u}\cdot \underbrace {\frac{cosx\, dx}{sin^3x}}_{dv}=\int \frac{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{dx}{cos^2\frac{x}{2}}}{\dfrac{sin\frac{x}{2}\cdot cos\frac{x}{2}}{cos^2\frac{x}{2}}}+\Big[\ u=cosx\ ,$

$\displaystyle du=-sinx\, dx\ ,\ dv=\frac{cosx\, dx}{sin^3x}\ ,\ v=\int (sinx)^{-3}\cdot d(sinx)=-\frac{1}{2\, sin^2x}\Big]=\\\\\\=\int \frac{d(tg\frac{x}{2})}{tg\frac{x}{2}}-\frac{cosx}{2sin^2x}-\int \frac{sinx\, dx}{2sin^2x}=ln\Big|tg\frac{x}{2}\Big|-\frac{cosx}{2sin^2x}-\frac{1}{2}\int \frac{dx}{sinx}=\\\\\\=ln\Big|tg\frac{x}{2}\Big|-\frac{cosx}{2sin^2x}-\frac{1}{2}\cdot ln\Big|tg\frac{x}{2}\Big|+C=\frac{1}{2}\cdot ln\Big|tg\frac{x}{2}\Big|-\frac{cosx}{2sin^2x} +C\ \ \ \star$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Aleks4565

21.11.2021 00:17

математика 5 класс Хотя бы 1 задачку, если не сложно все 3 ...

dshaa14

19.05.2021 02:18

11. Выразите у через х в уравнении 7х+2у=14 * у=7-3ху=7-3,5ху=7+3ху=7+3,5х...

gawrilinamaria

01.03.2020 17:24

На святковий стіл матуся купила по 1 кг фруктів за різною ціною: банани - за 30 грн 30 к, ківі — за 47 грн, яблука – за 14 грн, мандарини - за 32 грн 90 к. Яка середня...

Маркіза1

10.12.2021 06:47

Найдите такое положительное число что разность между утроенным квадратом этого числа и его удвоенным кубом принимает наибольшее значение...

яидиот2345

20.04.2021 21:04

Одно число больше другого в 11,5 раз(-а), среднее арифметическое этих двух чисел равно 34. надо найти эти 2 числа...

матиматик5а

10.06.2022 15:02

Два плиточника вместе кладут плитку в комнате за 28 часов.Известно что первый из ни работая один положил бы плитку за 42 часа .За сколько часов второй плиточник , работая...

ksusha20032

12.02.2023 11:08

2x-8=4 x=6 решите уравнение...

Milanaмилана

12.02.2023 11:08

Запиши частное 206:10 в виде десятичной дроби:...

izabella131313

03.04.2020 04:22

(7 · 4 + 28 : 7) + 14 : 2 – 6 · 6 + (18 – 9) · 3 + 2 · 6=? ПО ДЕЙСТВИЯМ ПИСАТЬ...

anfisakadnikova

03.04.2020 04:22

Вырази в мелких единицах меры.14/60 от мин. будет ? с...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку