Обозначим искомый интеграл через I(x) и применим к нему метод интегрирования "по частям". Пусть u=e^(4*x) и dv=cos(5*x)*dx, тогда du=4*e^(4*x)*dx и v=1/5*sin(5*x). Отсюда I(x)=1/5*e^(4*x)*sin(5*x)-4/5*∫e^(4*x)*sin(5*x)*dx. Пусть I1(x)=∫e^(4*x)*sin(5*x)*dx, тогда I(x)=1/5*e^(4*x)*sin(5*x)-4/5*I1(x). Для нахождения I1(x) положим u=e^(4*x) и dv=sin(5*x)*dx. Тогда du=4*e^(4*x)*dx, v=-1/5*cos(5*x) и I1(x)=-1/5*e^(4*x)*cos(5*x)+4/5*∫e^(4*x)*cos(5*x)*dx=-1/5*e^(4*x)*cos(5*x)+4/5*I(x). Таким образом, мы получили уравнение: I(x)=1/5*e^(4*x)*sin(5*x)-4/5*[-1/5*e^(4*x)*cos(5*x)+4/5*I(x)], или 41/25*I(x)=1/5*e^(4*x)*sin(5*x)+4/25*e^(4*x)*cos(5*x). Отсюда I(x)=5/41*e^(4*x)*sin(5*x)+4/41*e^(4*x)*cos(5*x)+C.
ответ: 5/41*e^(4*x)*sin(5*x)+4/41*e^(4*x)*cos(5*x)+C.
Пошаговое объяснение:
Обозначим искомый интеграл через I(x) и применим к нему метод интегрирования "по частям". Пусть u=e^(4*x) и dv=cos(5*x)*dx, тогда du=4*e^(4*x)*dx и v=1/5*sin(5*x). Отсюда I(x)=1/5*e^(4*x)*sin(5*x)-4/5*∫e^(4*x)*sin(5*x)*dx. Пусть I1(x)=∫e^(4*x)*sin(5*x)*dx, тогда I(x)=1/5*e^(4*x)*sin(5*x)-4/5*I1(x). Для нахождения I1(x) положим u=e^(4*x) и dv=sin(5*x)*dx. Тогда du=4*e^(4*x)*dx, v=-1/5*cos(5*x) и I1(x)=-1/5*e^(4*x)*cos(5*x)+4/5*∫e^(4*x)*cos(5*x)*dx=-1/5*e^(4*x)*cos(5*x)+4/5*I(x). Таким образом, мы получили уравнение: I(x)=1/5*e^(4*x)*sin(5*x)-4/5*[-1/5*e^(4*x)*cos(5*x)+4/5*I(x)], или 41/25*I(x)=1/5*e^(4*x)*sin(5*x)+4/25*e^(4*x)*cos(5*x). Отсюда I(x)=5/41*e^(4*x)*sin(5*x)+4/41*e^(4*x)*cos(5*x)+C.
Пошаговое объяснение:
на фото
+ в конце припишите произвольную константу С :)