Войти Регистрация Спроси ai-bota

Найти границу последовательности
Возможно как-то применяя интеграл

Найти границу последовательности Возможно как-то применяя интеграл

Ответ:

валера344

10.07.2021 15:36

$\dfrac{1}{2}$

Пошаговое объяснение:

$$a_n=n*\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(n+k)^2}=\dfrac{1}{n}*\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{n^2}{(n+k)^2}=\dfrac{1}{n}*\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(1+\frac{k}{n})^2}=\dfrac{1}{n}*\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{1}{(1+x_k)^2}$ , где $x_k=\dfrac{k}{n},k=\overline{0,n}$ . Отметим, что $\Delta x=x_k-x_{k-1}=\dfrac{1}{n},k=\overline{1,n}$ , при этом 0=x_0 .

То есть x_k - узлы разбиения отрезка [0;1] на равные отрезки длины $\dfrac{1}{n}$ .

Тогда a_n можно записать в виде

$$a_n=\sum\limits_{k=1}^n\Delta x*f(x_k)$ , где $f(x)=\dfrac{1}{(1+x)^2}$ .

Тогда a_n - интегральная сумма функции f(x) на разбиении отрезка [0;1] .

Значит, $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\int\limits_0^1\dfrac{1}{(1+x)^2}dx=\left(-\dfrac{1}{1+x}\right)\Big |_0^1=-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}$ .

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Настенька20030410

18.03.2021 16:58

Встране n городов и 50 дорог. каждая дорога соединяет ровно 2 города, и никакие 2 города не могут быть соединены более чем одной дорогой. из любого города можно по дорогам...

kodir74

18.03.2021 16:58

Для украшениния новогодней ёлки приготовили 7 звёздочек и 10 снежинок.на ёлку повесили все звёздочки и столько же снежинок.сколько снежинок не повесили на ёлку?...

08077987979

18.03.2021 16:58

Построй ломаную авсд длиной 9 см так, чтобы её второе звено было на 2 см длиннее первого но на 1 см короче третьего звена....

TheSniper

18.03.2021 16:58

Взял почту и отправился на велосипеде в деревне находящиеся от здание почты на расстоянии 6 километров .проехав 3 километров 650 метров он остановился у магазина.на каком...

1MQL2

18.03.2021 16:58

Сколька 3дм 4мм будет скажитьепожвлуйста...

smaile2

18.03.2021 16:58

Подобрать из того что есть дома предметы(сувениры,картинки, игрушки и так в размерах которых выполняется божественная пропорция, записать факт на листочке. ! нужно! 30...

irinohkaberesn

18.03.2021 16:58

Скорость велосипедиста 12 км/ч, а пешехода 4 км.ч. на сколько километров они сближаются при движении навстречу друг к другу за 1 ч? за половину часа? за 2 ч? за 5 ч?...

olegneoleg

18.03.2021 16:58

Найдите значения выражения: 9/10+4/15 , 9/17-19/68...

0Snezhana0

18.03.2021 16:58

Актерам сериала воронины платят зарплату по 20 тысяч рублей каждому всего в сериале снималось 15 человек. сколько денег потратят на зарплату всем актерам?...

diankapermyakoowxdr6

18.03.2021 16:58

X-310равно260 * 3 12*x равно 960: 10 x: 15 равно290-184 решите...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку