ОЧЕНЬ
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

ответ:         y *  e ^( 3/2 (у / x )²) = C x² .

Пошаговое объяснение:

xy' = ( 3y³ + 2yx²)/( 3y² + x²) ;

y' = ( 3y³ + 2yx²)/( 3xy² + x³) ; зробимо підстановку : u =  y/x  або  у = ux .

y' = ( ux )' = u + xu' . Підставляємо :

u + xu'  = ( 3u³x³ + 2x³u )/( 3u²x³ + x³ ) ;

u + xu'  =ux³( 3u² + 2 )/x³( 3u² + 1 ) ;

u + xu'  = u + u/( 3u² + 1 ) ;

xu' = u /(  3u² + 1 ) ;

(  3u² + 1 )du/ u  = dx/ x ;

( 3u + 1/u )du = dx/x ;    інтегруємо :

∫  ( 3u + 1/u )du =∫ dx/x ;  

3/2 u² + ln| u | = ln| x | + ln| C | ;

ln e ^( 3/2 u²) + ln| u| = ln| C* x| ;

ln| u| * e ^( 3/2 u²) =  ln| C* x| ;

u * e ^( 3/2 u²) = C x ;  повертаємося до змінної  у  :

( у / x ) * e ^( 3/2 (у / x )²) = C x ;

y *  e ^( 3/2 (у / x )²) = C x² .