Существует ли многочлен p(x) с целыми коэффициентами такой, что p(0) =19; p(1) = 85; p(2) = 1985

Существует

Пошаговое объяснение:

Попробуем предъявить такой многочлен. В точке 0 значение должно быть 19, так что многочлен должен иметь вид .

Подставляем x = 1: , тогда и .

Подставляем найденное Q в P:

Теперь подставляем x = 2:

Самый простой удовлетворить такому требованию - взять R(x) = 917 тождественно, тогда получится полином

Можно получить и общий вид многочленов, удовлетворяющих условию. Для этого надо взять . Получим, что подойдут полиномы вида

,

где многочлен S(x) можно выбрать произвольно