ОЧЕНЬ
Найти частное решение ,удовлетворяющие заданному условию:

общее решение

частное решение

ответ: у(х)=(x²-π²/4)·Sinx

Пошаговое объяснение: решим сначала однородное уравнение:

y'-уctgx=0

dy/y=ctgx

∫dy/y=∫ctgx dx

lny=∫cosx dx/sinx

lny= ∫d(sinx)/sinx

lny= ln(sinx)+lnC

lny= ln(C·Sinx)

y=C·Sinx

Используем метод вариации произвольной постоянной :

пусть y(x)=C(x)·Sinх,  пиши ВК id92240104

тогда y'(x)=C'(x)·Sinх+C(x)·Cosх, подставим значения y(x), y'(x) в данное уравнение:

C'(x)·Sinх+C(x)·Cosх-C(x)·Sinх·Cosx/Sinх=2·x·Sinx

C'(x)·Sinх=2·x·Sinx  

C'(x)·Sinх-2·x·Sinx =0

Sinx·(C'(x)-2x)=0 ⇒   C'(x) = 2x ⇒C(x)= x²+C₁ ⇒

Так как у нас у=С(x)·Sinx=(x²+C₁)Sinx

Значит общее решение : у(х)=(x²+C₁)·Sinx  

удовлетворяет условию y(π/2)=0 ⇒

y(π/2)= (π²/4+C₁)·Sin(π/2)= (π²/4+C₁)·1= π²/4+C₁ ⇒ π²/4+C₁=0 ⇒  

C₁= - π²/4

Тогда частное решение имеет вид:  у(х)=(x²-π²/4)·Sinx