Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

ответ:   4/e .

Пошаговое объяснение:

y" - 8y' + 16y = 0 ;  y( 0 ) = 3 ; y'( 0 ) = 8 .

Характер. рівняння :   k² - 8k + 16 = 0 ;   k ₁ = k ₂ = 4 .

Тоді  загальний розв"язок  y = ( C ₁ + C₂x )e^( 4x) ;

y(0) = 3 = ( C ₁ + 0)e⁰ ;  C ₁ = 3 :

y = ( C ₁ + C₂x )e^( 4x) ;   y' = C₂ e^(4x) + ( C ₁ + C₂x )*4e^(4x) ;

y'(0) = 8 = C₂e⁰ + C₁ *4e⁰;   C₂ + 4C ₁ = 8 ;  

C₁ = 3 ,тому C₂ + 4*3 = 8 ; C₂ = 8 - 12 = - 4 ;  C₂ = - 4 .

Частинний розв"язок  y = ( 3 - 4x )e^(4x) .

 y ( - 1/4 ) = ( 3 + 4* (1/4))e^(-4 *1/4) = 4 e^( - 1 ) = 4/e .