В этих точках производная меняет знак, значит участки (-бесконечность,-3), (-3,-1), (-1,1),(1,+бесконечность) и есть промежутки в которых функция монотонна.
При х меньше -3 производная отрицательна, дальше знаки чередуются.
На первом участке функция монотонно убывает, на втором возрастает, на третьем убывает, на четвертом возрастает.
Дифференцируем.
x^3+3x^2-x-3=0
x^2(x+3)-(x+3)=0
(x+3)*(x^2-1)=0
(x+3)*(x-1)*(x+1)=0
Итак, в точках х=-3,х=-1,х=1 производная равна 0.
В этих точках производная меняет знак, значит участки (-бесконечность,-3), (-3,-1), (-1,1),(1,+бесконечность) и есть промежутки в которых функция монотонна.
При х меньше -3 производная отрицательна, дальше знаки чередуются.
На первом участке функция монотонно убывает, на втором возрастает, на третьем убывает, на четвертом возрастает.