1. В партии из 10 изделий 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди наудачу извлеченных 4-х деталей не более 3-х стандартны. 2. В вычислительной лаборатории имеется 16 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения расчета автомат не откажет, равна 0,95, для полуавтомата эта вероятность равна 0,85. При выполнении некоторого расчета машина не отказала. Какова вероятность, что вычисления производились на автомате?
P(A) = (Количество благоприятных исходов) / (Количество возможных исходов)
Количество возможных исходов - это количество способов выбрать 4 детали из 10, что можно найти с помощью сочетаний:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
где n - общее количество элементов, k - количество элементов, которые мы выбираем.
В данном случае n = 10 и k = 4, поэтому
C(10, 4) = 10! / (4! * (10-4)! = 210
Теперь посчитаем количество благоприятных исходов. Не более 3-х стандартных деталей означает, что может быть 0, 1, 2 или 3 стандартных детали.
Для 0 стандартных деталей: выбираем 4 из 2 нестандартных деталей.
C(2, 4) = 2! / (4! * (2-4)!) = 0
Для 1 стандартной детали: выбираем 1 из 8 стандартных и 3 из 2 нестандартных деталей.
C(8, 1) * C(2, 3) = 8! / (1! * (8-1)!) * 2! / (3! * (2-3)!) = 8 * 2 = 16
Для 2 стандартных деталей: выбираем 2 из 8 стандартных и 2 из 2 нестандартных деталей.
C(8, 2) * C(2, 2) = 8! / (2! * (8-2)!) * 2! / (2! * (2-2)!) = 28 * 1 = 28
Для 3 стандартных деталей: выбираем 3 из 8 стандартных и 1 из 2 нестандартных деталей.
C(8, 3) * C(2, 1) = 8! / (3! * (8-3)!) * 2! / (1! * (2-1)!) = 56 * 2 = 112
Теперь можно вычислить вероятность:
P(не более 3-х стандартных) = (0 + 16 + 28 + 112) / 210 = 156 / 210 = 0.742857
Ответ: вероятность того, что среди наудачу извлеченных 4-х деталей не более 3-х стандартных, равна 0.742857 или около 74.29%.
2. Для решения данной задачи воспользуемся формулой условной вероятности:
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
где A - событие, что вычисления производились на автомате, B - событие, что машина не отказала.
P(B) можно вычислить как вероятность, что машина не откажет во время выполнения расчета, независимо от типа машины. Здесь есть два варианта: автомат (A) или полуавтомат (P). Тогда
P(B) = P(A) * P(B|A) + P(P) * P(B|P)
где P(A) и P(P) - вероятности использования автомата и полуавтомата соответственно, P(B|A) и P(B|P) - вероятности того, что машина не откажет при использовании автомата и полуавтомата соответственно.
В данном случае P(A) = 16 / (16 + 4) = 0.8 и P(P) = 4 / (16 + 4) = 0.2. Также из условия задачи известно, что P(B|A) = 0.95 и P(B|P) = 0.85. Подставляем значения в формулу:
P(B) = 0.8 * 0.95 + 0.2 * 0.85 = 0.76
Теперь можем вычислить P(A|B):
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
P(A∩B) - это вероятность, что вычисления были произведены на автомате и при этом машина не отказала. Здесь P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = 0.8 * 0.95 = 0.76
Подставляем значения:
P(A|B) = 0.76 / 0.76 = 1
Ответ: вероятность, что вычисления производились на автомате при условии, что машина не отказала, равна 1 или 100%.