* Сидит и надеется на добрых людей * Натуральное число n таково, что n2 + 1 — десятизначное число. Докажите, что в числе n2 + 1 есть две одинаковые цифры.

Пошаговое объяснение:

Число состоит из 10 различных цифр, т.е.  0, 1, 2 ,  ... , 9.

Сумма цифр равна 45, значит число делится на 3.

Покажем, что число К=n*n+1 не может быть кратно 3.

Предположим , сто это не так и число делится на 3. Но тогда n - не может быть кратно 3.

Однако если К кратно 3 то  К-2 не кратно 3.

Но К-2=(n-1)*(n+1). Если n не делится на 3, то  или n-1 или n+1 на 3 делится, что противоречит нашему предположению.

Значит К не может быть крано 3 и записыватья с десяти различных цифр.