Войти Регистрация Спроси ai-bota

На кривой найдите точку, расстояние от которой до точки m(1; -1) будет наименьшим

Ответ:

niqwe

18.06.2020 06:38

Расстояние от точки до точки вычисляется по формуле

$\sqrt{(x_1^2-x_2^2)+(y_1^2-y_2^2)}$

В данном случае пусть $(x_1;\,y_1)$ - точка на параболе, а $(x_2;\,y_2)$ сама точка М (1, -1).

Заметим, что так как первая точка лежит на параболе, то согласно уравнению параболы эта точка принимает вид $(x;\,x-x^2)$

Теперь заново запишем расстояние, исходя из вышесказанного

$\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2-(-1))^2}=\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}$

Чтобы это расстояние было наименьшим, надо взять от него производную и приравнять ее к нулю. Найти точки минимума - это и будет абсциссой параболы.
$(\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2})'=\frac{2(x-1)+2(x-x^2+1)*(1-2x)}{2\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}}=$

Сократим числитель и знаменатель на 2.

$=\frac{(x-1)+(x-x^2+1)*(1-2x)}{\sqrt{(x-1)^2+(x-x^2+1)^2}}$

Теперь приравняем к нулю числитель дроби. То есть фактически приравняем к нулю производную

(x-1)+(x-x^2+1)*(1-2x)=0

(x-1)+(x-x^2+1)*(1-2x)=0

Раскроем скобки

x-1+x-x^2+1-2x^2+2x^3-2x=0

x-1+x-x^2+1-2x^2+2x^3-2x=0

Заметим, что все свободные члены сокращаются

x+x-x^2-2x^2+2x^3-2x=0

x+x-x^2-2x^2+2x^3-2x=0

Также сокращаются все члены при х.

-x^2-2x^2+2x^3=0

-x^2-2x^2+2x^3=0

-3x^2+2x^3=0

x^2(-3+2x)=0

x_1=0

-3+2x_2=0

2x_2=3

x_2=1,5

Теперь найдем точку минимума. Сама производная, как видно, меняет знак вместе с многочленом в числителе -3x^2+2x^3

-3x^2+2x^3

. Обозначим ее за g(x)=-3x^2+2x^3

g(x)=-3x^2+2x^3

.

g(-1)=-3-2=-5<0,

g(1)=-3+2=-1<0

g(2)=-3*4+16=40

Как видно, точка х=1,5 - является минимумом функции расстояния.

Чтобы найти у, надо подставить х=1,5 в уравнение параболы

y=1,5-1,5^2

y=1,5-1,5^2

y=1,5-2,25

y=-0,75

Значит точкой самой близкой к М на параболе является точка (1,5; -0,75).

ответ: (1,5; -0,75).

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

ElliDiHastua

14.08.2020 05:58

Водпри ящике - 28 кг овощей. в другом ящике овощей в 2 раза меньше, чем в первом. сколько килограммов овощей в двух ящиках?...

Askarabdullaev

14.08.2020 05:58

Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и b если а=2^2*3*7 и b=2*3^2*7^2...

барни6

14.08.2020 05:58

Решить пропорцию 48: х=30: 25; 17: 3=х: 9; 13: х=39: 6; 34: 6=51: х....

nata960

14.08.2020 05:58

А) составь выражение по условию . в учебнике а страниц отведено повторению изученного материала, b страниц-изучению нового материала, а оставшиеся d страниц-закреплению материала....

petiteOie

05.12.2020 03:28

Высота пика талгар на илейском алатау 4973 м. сколько примерно киломметров состовляет высота пика талгар? высота пика манас на хребте талас 4482 м. сколько примерно киломметров...

Chalmers1998

05.12.2020 03:28

Решите двойное неравенство х-1 2 2х-4 6...

vgorelova62

05.12.2020 03:28

Вычислите значения выражения если а: b=20 1)(a×3)÷b 2)(a×3): (b×5)3)(a: 2): b 4)a: (b×4) 5)a: (b: 2)6) (a×2): (b×2) выбираете ответы 12,40,10,20,5,60....

Ychenik77

27.08.2022 14:42

Найдите длину садового участка прямоугольной формы если его площадь равна 3 га, а ширина 150 м...

NazarKlakovych28

16.03.2020 21:46

Как несовершать матиматических действий уменьшить 99 на 33...

RusyaBullet

16.03.2020 21:46

Найти нок для чисел 4,7 и 9 , за рание...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку