Вправильной треугольной пирамиде sabc длина апоферы - вопрос №1736303 от РомаУзденов 23.10.2021 00:17

Question

Математика: Вправильной треугольной пирамиде sabc длина апоферы равна , а отношение бокового ребра к высоте пирамиды равно . найти объем пирамиды.

РомаУзденов · Answer

Пусть ребро и высота равны соответственно x и y, по условию
$\frac{x}{y}= \frac{\sqrt{10}}{3}$
пусть z - сторона основания тогда радиус вписанной окружности будет равен
$r= \frac{\sqrt{3}z}{6}$
а апофему выразим через высоту и радиус
$y^2+ (\frac{\sqrt{3}z}{6})^2= \frac{37}{36}$

а центр вписанной окружности, совпадает с центром описанной окружности
r=2R , только в равностороннем треугольнике
отудого
$\sqrt{x^2-y^2}= \frac{\sqrt{3}z}{3}$

решаем систему их трех неизвестных
получаем
$z= \frac{ \sqrt{3} }{3} \\
y=1\\
x= \frac{\sqrt{10}}{3} \\
V=\frac{SH}{3}\\
S=\frac{\sqrt{3}}{12}\\
V=\frac{\frac{\sqrt{3}}{12}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{36}
$