Для начала, давайте вспомним понятие первообразной функции. Первообразная функция F(x) для данной функции f(x) - это такая функция, производная которой равна исходной функции f(x).
В данном случае у нас функция y = 1/2cos2x. Чтобы найти ее первообразную функцию, мы будем использовать знания о производных элементарных функций.
Зная, что производная функции сin(x) равна -sin(x), можно использовать замену переменной и применить правило цепочки:
Пусть u = 2x, тогда du/dx = 2. Можно представить уловку, что обычно выбирают u, равное функции свободного члена вещественной функции. И, тогда, производная будет равна самой себе, но зато будет цифра 1/2 внутри, а также изменится сама функция, косинус превратится в синус.
Применяя это к нашей функции, получаем следующее:
du/dx = 2
dx = du/2
таким образом y = 1/2cos2x скрипится:
1/2cos2x dx = 1/2cosu (du/2)
1/4 cosu du
Теперь мы можем выразить исходную функцию через новую переменную и интегрировать:
∫ 1/4 cosu du
Зная, что ∫cosx dx = sinx + C (где С - произвольная постоянная), и используя замену переменной, получаем:
1/4 * ∫ cosu du = 1/4 * (sinu + C) = 1/4 * sin(2x) + C
Мы получили ответ в виде первообразной функции для исходной функции y = 1/2cos2x. Общий вид первообразной функции имеет вид F(x) = 1/4sin(2x) + C, где C - произвольная постоянная.
Таким образом, общий вид первообразной функции для данной функции y=1/2cos2x равен F(x) = 1/4sin(2x) + C.
В данном случае у нас функция y = 1/2cos2x. Чтобы найти ее первообразную функцию, мы будем использовать знания о производных элементарных функций.
Зная, что производная функции сin(x) равна -sin(x), можно использовать замену переменной и применить правило цепочки:
Пусть u = 2x, тогда du/dx = 2. Можно представить уловку, что обычно выбирают u, равное функции свободного члена вещественной функции. И, тогда, производная будет равна самой себе, но зато будет цифра 1/2 внутри, а также изменится сама функция, косинус превратится в синус.
Применяя это к нашей функции, получаем следующее:
du/dx = 2
dx = du/2
таким образом y = 1/2cos2x скрипится:
1/2cos2x dx = 1/2cosu (du/2)
1/4 cosu du
Теперь мы можем выразить исходную функцию через новую переменную и интегрировать:
∫ 1/4 cosu du
Зная, что ∫cosx dx = sinx + C (где С - произвольная постоянная), и используя замену переменной, получаем:
1/4 * ∫ cosu du = 1/4 * (sinu + C) = 1/4 * sin(2x) + C
Мы получили ответ в виде первообразной функции для исходной функции y = 1/2cos2x. Общий вид первообразной функции имеет вид F(x) = 1/4sin(2x) + C, где C - произвольная постоянная.
Таким образом, общий вид первообразной функции для данной функции y=1/2cos2x равен F(x) = 1/4sin(2x) + C.