максим разбил все натуральные числа на s арифметических прогрессий. верно ли, что наименьший элемент одной из них кратен разности данной прогрессии.

Нет

Пошаговое объяснение:

Рассмотрим прогрессии вида

n; n+d; n+2d; ...

n+1; n+1+d; n+1+2d;...

с одинаковыми разностями.

Ни у одной из них первый член не будет равен разности прогрессии.