1. На стороне АВ остроугольного треугольника АВС выбрана точка Р так, что : BP = 2 : 3. Известно, что АС = СР = 1. Найдите величину угла АСВ при котором площадь треугольника АВС максимальна.
Очевидно, что высота CD и ABC должна быть максимальной, а угол ACB должен быть как можно ближе к 90С. Исходя из того, что ACB=90C, рассчитываем:
Пусть угол BAC=L, тогда из треугольника ADC (угол ADC=90C) находим:
AD=AC*cosL=1*cosL; DC=AC*sinL,
AB=5AD=5*1*cosL=5cosL;
BC=ABsinL=5cosL*sinL
S треугольника ABC=1/2AB*DC=1/2*5AD*DC=5/2*1*cosL*1*sinL=5/2*2sinL2cosL/2=5/4*sin2L
По теореме Пифагора из треугольника ABC
/AB/^2=/AC/^2+/BC/^2
25cos^2L=1^2+25cos^2Lsin^2L
25cos^2L-25cos^2Lsin^2L=1
25cos^2L(1-sin^2L)=1
25cos^4L=1
cos^4L=1/25
cos^2L1/5
cosL=корень5/5=0,447
L=63,4486C=1,107 рад.
S треугольника ABC=5/4*sin2L=5/4sin126,89=1,25*0,799=0,999
Ответ:S=>1 при угол ACB=>90C.
Пусть угол BAC=L, тогда из треугольника ADC (угол ADC=90C) находим:
AD=AC*cosL=1*cosL; DC=AC*sinL,
AB=5AD=5*1*cosL=5cosL;
BC=ABsinL=5cosL*sinL
S треугольника ABC=1/2AB*DC=1/2*5AD*DC=5/2*1*cosL*1*sinL=5/2*2sinL2cosL/2=5/4*sin2L
По теореме Пифагора из треугольника ABC
/AB/^2=/AC/^2+/BC/^2
25cos^2L=1^2+25cos^2Lsin^2L
25cos^2L-25cos^2Lsin^2L=1
25cos^2L(1-sin^2L)=1
25cos^4L=1
cos^4L=1/25
cos^2L1/5
cosL=корень5/5=0,447
L=63,4486C=1,107 рад.
S треугольника ABC=5/4*sin2L=5/4sin126,89=1,25*0,799=0,999
Ответ:S=>1 при угол ACB=>90C.