1. Задана геометрическая прогрессия B(n), для первых ее членов существует зависимость:
b1 + b2 + b3 = 21;
b1² + b2² + b3² = 189;
2. Выразим все неизвестные (их же три) через первый член и знаменатель, тем более их же надо найти:
b1 + b1 * q + b1 * q² = b1 * (1 + q + q²) = 21;
b1² + b1² * q² + b1² * q⁴ = b1² * (1 + q1 + q⁴) = 189;
3. Делим второе уравнение на первое:
(b1² * (1 + q1 + q⁴)) / (b1 * (1 + q + q²)) = 189 / 21;
4. Используем разложение суммы трех квадратов:
b1 * (1 + q + q²) = 21;
b1 * (1 - q + q²) = 9;
5. Из первого уравнения: b1 = 21 / (1 + q + q²) подставим во второе:
21 * (1 - q + q²) /(1 - q + q²) = 9;
6. В итоге получаем квадратное уравнение:
2 * q² - 5 * q + 2 = 0;
q1,2 = (5 +- sqrt(5² - 4 * 2 * 2) / 2 * 2 = (5 +- 3) / 4;
q1 = (5 - 3) / 4 = 0,5;
q2 = (5 + 3) / 4 = 2;
b11 = 21 / (1 + 0,5 + (0,5)²) = 12;
b12 = 21 / (1 + 2 + 2²) = 3.
ответ: 1) q = 0,5, b1 = 12; 2) q = 2, b1 = 3.
1. Задана геометрическая прогрессия B(n), для первых ее членов существует зависимость:
b1 + b2 + b3 = 21;
b1² + b2² + b3² = 189;
2. Выразим все неизвестные (их же три) через первый член и знаменатель, тем более их же надо найти:
b1 + b1 * q + b1 * q² = b1 * (1 + q + q²) = 21;
b1² + b1² * q² + b1² * q⁴ = b1² * (1 + q1 + q⁴) = 189;
3. Делим второе уравнение на первое:
(b1² * (1 + q1 + q⁴)) / (b1 * (1 + q + q²)) = 189 / 21;
4. Используем разложение суммы трех квадратов:
b1 * (1 + q + q²) = 21;
b1 * (1 - q + q²) = 9;
5. Из первого уравнения: b1 = 21 / (1 + q + q²) подставим во второе:
21 * (1 - q + q²) /(1 - q + q²) = 9;
6. В итоге получаем квадратное уравнение:
2 * q² - 5 * q + 2 = 0;
q1,2 = (5 +- sqrt(5² - 4 * 2 * 2) / 2 * 2 = (5 +- 3) / 4;
q1 = (5 - 3) / 4 = 0,5;
q2 = (5 + 3) / 4 = 2;
b11 = 21 / (1 + 0,5 + (0,5)²) = 12;
b12 = 21 / (1 + 2 + 2²) = 3.
ответ: 1) q = 0,5, b1 = 12; 2) q = 2, b1 = 3.