Для того чтобы определить характер монотонности последовательности yn=n^2/6^n, нам необходимо рассмотреть разность между последовательными членами. Давайте вычислим эту разность.
Первым делом, упростим выражение yn+1−yn. Заменим n в yn+1 на n+1:
yn+1 = (n+1)^2 / 6^(n+1)
yn = n^2 / 6^n
yn+1−yn = (n+1)^2 / 6^(n+1) - n^2 / 6^n
Для того чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нам необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем в данном случае будет 6^(n+1), так как это наименьшее общее кратное знаменателей. Приведем дроби к общему знаменателю:
Упростим полученное выражение. Заметим, что в числителе у нас есть выражение (1 - 6^(n+1)), которое является отрицательным при любом натуральном n. Также заметим, что 2n + 1 является положительным выражением. Поэтому можно сказать, что разность yn+1−yn является отрицательной.
Таким образом, имеем формулу неравенства, подтверждающую характер монотонности:
yn+1−yn < 0
Ответ: последовательность является монотонной и убывающей.
Первым делом, упростим выражение yn+1−yn. Заменим n в yn+1 на n+1:
yn+1 = (n+1)^2 / 6^(n+1)
yn = n^2 / 6^n
yn+1−yn = (n+1)^2 / 6^(n+1) - n^2 / 6^n
Для того чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нам необходимо привести их к общему знаменателю. Общим знаменателем в данном случае будет 6^(n+1), так как это наименьшее общее кратное знаменателей. Приведем дроби к общему знаменателю:
yn+1−yn = ( (n+1)^2 * 6^n - n^2 * 6^(n+1) ) / 6^(n+1)
Теперь нам необходимо упростить эту разность. Раскроем скобки в числителе:
yn+1−yn = ( n^2 + 2n + 1 * 6^n - n^2 * 6^(n+1) ) / 6^(n+1)
yn+1−yn = ( n^2 * 6^n + 2n * 6^n + 1 * 6^n - n^2 * 6^(n+1) ) / 6^(n+1)
yn+1−yn = ( n^2 * 6^n + 2n * 6^n + 6^n - n^2 * 6 * 6^n ) / 6^(n+1)
yn+1−yn = ( n^2 * 6^n - n^2 * 6 * 6^n )/6^(n+1) + (2n * 6^n + 6^n)/6^(n+1)
yn+1−yn = ( n^2 * (1 - 6^(n+1)) )/6^(n+1) + (2n + 1)/6^(n+1)
yn+1−yn = ( n^2 - n^2 * 6^(n+1) )/6^(n+1) + (2n + 1)/6^(n+1)
yn+1−yn = ( n^2 - n^2 * 6^(n+1) + 2n + 1)/6^(n+1)
yn+1−yn = ( n^2 * (1 - 6^(n+1)) + 2n + 1)/6^(n+1)
Упростим полученное выражение. Заметим, что в числителе у нас есть выражение (1 - 6^(n+1)), которое является отрицательным при любом натуральном n. Также заметим, что 2n + 1 является положительным выражением. Поэтому можно сказать, что разность yn+1−yn является отрицательной.
Таким образом, имеем формулу неравенства, подтверждающую характер монотонности:
yn+1−yn < 0
Ответ: последовательность является монотонной и убывающей.