Провести исследование и построить график

1. Область определения функции: множество всех действительных чисел

2. Чётность и нечётность функции: проверим на четность функции с соотношений:  

Итак, f(-x) = f(x) значит заданная функция является четной.

3. Точки пересечения с осями координат.

3.1. точки пересечения с осью Ох. График функции пересекает ось абсциссу при f = 0 значит нужно решить уравнение:

(0;0), (2;0), (-2;0) - точки.

3.2. точки пересечения с осью Оу. График пересекает ось ординат, когда х=0, т.е. подставляем x=0 в функцию, получим

(0;0) - точка

4. Функция не является периодичной.

5. Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение  

Найдем интервалы возрастание и убывания функции:

+(-√2)-(0)+(√2)-

Функция возрастает на промежутке , а убывает -  

- локальные максимумы

- локальный минимум.

6. Точки перегиба.

Вторая производная функции:  

___-(-√6/3)+__(√6/3)___-

Функция вогнутая на промежутке , а выпуклая на промежутке  

7. Асимптоты

Здесь вертикальных асимптот нет. Найдем теперь горизонтальные асимптоты.

Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при  

Предел не существует, следовательно горизонтальной асимптоты нет.

Вертикальной асимптоты нет.