Ваня на вопрос : каков номер его квартиры дал ответ. номер квартиры трехзначное число. если цифрами этого числа записать все шесть двузначных различных чисел то полусумма этих чисел будет равна номеру квартиры. вычислить номер квартиры?
Запишем трёхзначный номер квартиры в виде 100x+10y+z, где x, y и z - цифры номер квартиры (заметим на будущее, что все три числа целые и удовлетворяют условиям: 0<x<=9; 0<y<=9; 0<z<=9)
Теперь запишем все 6 двузначных чисел, составленных из цифр номера:
10x + y
10x + z
10y + x
10y + z
10z + x
10z + y
и найдём их сумму:
10x + y + 10x + z + 10y + x + 10y + z + 10z + x + 10z + y = 22x + 22y + 22z
Полусумма этих чисел равна номеру квартиры:
11x + 11y + 11z = 100x + 10y + z
Перенесём х вправо, а y и z - влево:
11y -10y + 11z - z = 100x - 11x
y + 10z = 89x
То есть мы имеем: цифра х, умноженная на 89, даёт двузначное число, у которого первая цифра z, а вторая y. Очевидно, что х не может быть быть больше 1, так как при умножении 89 на 2 или большее получим трёхзначное число. Значит х = 1, и тогда 10z + y = 89, откуда y = 9, z = 8
Запишем трёхзначный номер квартиры в виде 100x+10y+z, где x, y и z - цифры номер квартиры (заметим на будущее, что все три числа целые и удовлетворяют условиям: 0<x<=9; 0<y<=9; 0<z<=9)
Теперь запишем все 6 двузначных чисел, составленных из цифр номера:
10x + y
10x + z
10y + x
10y + z
10z + x
10z + y
и найдём их сумму:
10x + y + 10x + z + 10y + x + 10y + z + 10z + x + 10z + y = 22x + 22y + 22z
Полусумма этих чисел равна номеру квартиры:
11x + 11y + 11z = 100x + 10y + z
Перенесём х вправо, а y и z - влево:
11y -10y + 11z - z = 100x - 11x
y + 10z = 89x
То есть мы имеем: цифра х, умноженная на 89, даёт двузначное число, у которого первая цифра z, а вторая y. Очевидно, что х не может быть быть больше 1, так как при умножении 89 на 2 или большее получим трёхзначное число. Значит х = 1, и тогда 10z + y = 89, откуда y = 9, z = 8
Искомый номер квартиры 198.
Проверяем: 19 + 18 + 91 + 98 + 81 + 89 = 396
Полусумма 396 / 2 = 198
ответ: 198