Трамваи маршрута 21 идут с интервалом 7 мин. Время ожидания Т трамвая пассажиром, пришедшим на остановку, является случайной величиной, равномерно распределенной в интервале (0,7). Найти вероятность того, что пассажир будет ждать трамвай от двух до четырех минут. Найти M[X], D[X].
1) Найдем вероятность того, что пассажир будет ждать трамвай от двух до четырех минут.
Вероятность ждать трамвай от двух до четырех минут равна вероятности того, что случайное время ожидания Т попадет в интервал (2,4). Так как время ожидания Т является равномерно распределенной случайной величиной в интервале (0,7), то чтобы найти указанную вероятность, нужно найти разность вероятности попадания времени ожидания Т в интервал (0,7) и интервал (4,7).
Вероятность попадания времени ожидания Т в интервал (0,7) равна:
P(0 < Т < 7) = (7-0) / (7-0) = 1
Вероятность попадания времени ожидания Т в интервал (4,7) равна:
P(4 < Т < 7) = (7-4) / (7-0) = 3 / 7
Следовательно, вероятность того, что пассажир будет ждать трамвай от двух до четырех минут равна:
P(2 < Т < 4) = P(0 < Т < 7) - P(4 < Т < 7) = 1 - (3/7) = 4/7
Ответ: Вероятность того, что пассажир будет ждать трамвай от двух до четырех минут, равна 4/7.
2) Найдем математическое ожидание M[X] и дисперсию D[X] случайной величины Х - времени ожидания Т пассажиром, пришедшим на остановку.
Математическое ожидание M[X] равно среднему значению случайной величины Х:
M[X] = (a + b) / 2, где a и b - концы интервала равномерного распределения.
В данном случае a = 0 и b = 7, поэтому:
M[X] = (0 + 7) / 2 = 7 / 2 = 3.5
Ответ: Математическое ожидание времени ожидания Т пассажиром равно 3.5 минут.
Дисперсия D[X] равна среднеквадратическому отклонению случайной величины Х:
D[X] = (b - a)^2 / 12
В данном случае a = 0 и b = 7, поэтому:
D[X] = (7 - 0)^2 / 12 = 49 / 12 ≈ 4.08
Ответ: Дисперсия времени ожидания Т пассажиром равна примерно 4.08 минуты.