Доказательство проведём индукцией по n. При n = 1 выражение 16ⁿ + 5*9ⁿ - 3*2ⁿ⁺¹ = 16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ = 16 + 45 - 12 = 49 кратно 7. Допустим, что выражение 16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ кратно 7 при произвольном n. Докажем, что тогда и выражение 16ⁿ⁺¹ + 5*9ⁿ⁺¹ - 6*2ⁿ⁺¹ кратно 7. Рассмотрим разность 16ⁿ⁺¹ + 5*9ⁿ⁺¹ - 6*2ⁿ⁺¹ - (16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ) = 16*16ⁿ + 45*9ⁿ - 12*2ⁿ - 16ⁿ - 5*9ⁿ + 6*2ⁿ = 15*6ⁿ + 40*9ⁿ - 6*2ⁿ = 14*16ⁿ + 35*9ⁿ + 16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ = 7(2*16ⁿ + 5*9ⁿ) + 16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ. Слагаемое 7(2*16ⁿ + 5*9ⁿ) кратно 7, слагаемое 16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ кратно 7 по предположению индукции. Значит вся разность 16ⁿ⁺¹ + 5*9ⁿ⁺¹ - 6*2ⁿ⁺¹ - (16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ) кратна 7, а значит и 16ⁿ⁺¹ + 5*9ⁿ⁺¹ - 6*2ⁿ⁺¹ кратно 7. Таким образом кратность 7 выражения 16ⁿ + 5*9ⁿ - 3*2ⁿ⁺¹ доказана.
Доказательство проведём индукцией по n. При n = 1 выражение 16ⁿ + 5*9ⁿ - 3*2ⁿ⁺¹ = 16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ = 16 + 45 - 12 = 49 кратно 7. Допустим, что выражение 16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ кратно 7 при произвольном n. Докажем, что тогда и выражение 16ⁿ⁺¹ + 5*9ⁿ⁺¹ - 6*2ⁿ⁺¹ кратно 7. Рассмотрим разность 16ⁿ⁺¹ + 5*9ⁿ⁺¹ - 6*2ⁿ⁺¹ - (16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ) = 16*16ⁿ + 45*9ⁿ - 12*2ⁿ - 16ⁿ - 5*9ⁿ + 6*2ⁿ = 15*6ⁿ + 40*9ⁿ - 6*2ⁿ = 14*16ⁿ + 35*9ⁿ + 16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ = 7(2*16ⁿ + 5*9ⁿ) + 16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ. Слагаемое 7(2*16ⁿ + 5*9ⁿ) кратно 7, слагаемое 16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ кратно 7 по предположению индукции. Значит вся разность 16ⁿ⁺¹ + 5*9ⁿ⁺¹ - 6*2ⁿ⁺¹ - (16ⁿ + 5*9ⁿ - 6*2ⁿ) кратна 7, а значит и 16ⁿ⁺¹ + 5*9ⁿ⁺¹ - 6*2ⁿ⁺¹ кратно 7. Таким образом кратность 7 выражения 16ⁿ + 5*9ⁿ - 3*2ⁿ⁺¹ доказана.