Напиши уравнение окружности, которая проходит через точку 5 на оси Ох и через точку 10 на оси Оу, если Известно, что центр находится на оси Оу. (Рассчитай в дробях и дроби запиши несокращёнными.)
Для решения задачи, связанной с уравнением окружности, мы должны использовать следующие концепции и формулы.
Задача: Напишите уравнение окружности, которая проходит через точку 5 на оси Ох и через точку 10 на оси Оу, если известно, что центр находится на оси Оу.
Решение:
1. Мы знаем, что центр окружности находится на оси Оу. Пусть координаты центра окружности равны (a, 0), где a - неизвестное значение.
2. Так как окружность проходит через точку (5, 0), мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками для рассчета радиуса окружности.
Расстояние между точками (a, 0) и (5, 0) равно радиусу окружности.
Формула для расчета расстояния между точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) выглядит следующим образом:
r = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
В нашем случае, x₁ = a, y₁ = 0, x₂ = 5, y₂ = 0:
r = √((5 - a)² + (0 - 0)²) = √((5 - a)² + 0) = √((5 - a)²) = 5 - a
Таким образом, радиус окружности равен (5 - a).
3. Также мы знаем, что окружность проходит через точку (0, 10). Используя ту же формулу, мы можем рассчитать расстояние от центра окружности до точки (0, 10), которое также должно быть равно радиусу окружности:
r = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
В нашем случае, x₁ = a, y₁ = 0, x₂ = 0, y₂ = 10:
r = √((0 - a)² + (10 - 0)²) = √(a² + 100)
Таким образом, радиус окружности равен √(a² + 100).
4. У нас есть два выражения для радиуса окружности:
(5 - a) = √(a² + 100)
5. Теперь мы можем решить это уравнение относительно неизвестного значения a. Возведем оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(5 - a)² = (a² + 100)
8. Перенесем 25 на другую сторону уравнения:
-10a = 100 - 25
-10a = 75
9. Разделим обе стороны на -10, чтобы найти значение a:
a = 75 / -10
a = -7.5
10. Теперь у нас есть значение a, равное -7.5. Подставим это значение в уравнение окружности, чтобы получить окончательное уравнение:
(x - a)² + (y - 0)² = (5 - a)²
(x + 7.5)² + y² = (5 + 7.5)²
(x + 7.5)² + y² = 12.5²
Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точку 5 на оси Ох и через точку 10 на оси Оу, с центром на оси Оу, будет следующим:
Задача: Напишите уравнение окружности, которая проходит через точку 5 на оси Ох и через точку 10 на оси Оу, если известно, что центр находится на оси Оу.
Решение:
1. Мы знаем, что центр окружности находится на оси Оу. Пусть координаты центра окружности равны (a, 0), где a - неизвестное значение.
2. Так как окружность проходит через точку (5, 0), мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками для рассчета радиуса окружности.
Расстояние между точками (a, 0) и (5, 0) равно радиусу окружности.
Формула для расчета расстояния между точками (x₁, y₁) и (x₂, y₂) выглядит следующим образом:
r = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
В нашем случае, x₁ = a, y₁ = 0, x₂ = 5, y₂ = 0:
r = √((5 - a)² + (0 - 0)²) = √((5 - a)² + 0) = √((5 - a)²) = 5 - a
Таким образом, радиус окружности равен (5 - a).
3. Также мы знаем, что окружность проходит через точку (0, 10). Используя ту же формулу, мы можем рассчитать расстояние от центра окружности до точки (0, 10), которое также должно быть равно радиусу окружности:
r = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
В нашем случае, x₁ = a, y₁ = 0, x₂ = 0, y₂ = 10:
r = √((0 - a)² + (10 - 0)²) = √(a² + 100)
Таким образом, радиус окружности равен √(a² + 100).
4. У нас есть два выражения для радиуса окружности:
(5 - a) = √(a² + 100)
5. Теперь мы можем решить это уравнение относительно неизвестного значения a. Возведем оба выражения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
(5 - a)² = (a² + 100)
6. Раскроем скобки:
25 - 10a + a² = a² + 100
7. Упростим уравнение, объединив схожие члены:
-10a + 25 = 100
8. Перенесем 25 на другую сторону уравнения:
-10a = 100 - 25
-10a = 75
9. Разделим обе стороны на -10, чтобы найти значение a:
a = 75 / -10
a = -7.5
10. Теперь у нас есть значение a, равное -7.5. Подставим это значение в уравнение окружности, чтобы получить окончательное уравнение:
(x - a)² + (y - 0)² = (5 - a)²
(x + 7.5)² + y² = (5 + 7.5)²
(x + 7.5)² + y² = 12.5²
Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точку 5 на оси Ох и через точку 10 на оси Оу, с центром на оси Оу, будет следующим:
(x + 7.5)² + y² = 12.5²