Для доказательства того, что АВ=А1В1, когда плоскости альфа и бета параллельны, мы можем воспользоваться аксиомой о параллельности.
Дано: a||b (плоскости альфа и бета параллельны).
Мы можем представить данную ситуацию в виде двух плоскостей, альфа и бета, которые расположены параллельно друг другу.
Введем точку М - точку пересечения отрезков А1В1 и АВ. Эта точка существует, так как ребро АВ находится на плоскости альфа, а ребро А1В1 находится на плоскости бета и они параллельны.
Давайте рассмотрим треугольники АВМ и А1В1М.
У данных треугольников у нас есть следующие равенства:
- МН=МА+АН (по свойствам векторов);
- МН=МВ+ВН (по свойствам векторов);
- АН=ВН (по построению, так как эти отрезки перпендикулярны плоскости альфа и параллельны плоскости бета);
- АМ=А1М (по построению, так как эти отрезки лежат на плоскостях альфа и бета соответственно);
- ВМ=В1М (по построению, так как эти отрезки лежат на плоскостях альфа и бета соответственно).
Теперь давайте сравним основания треугольников А1В1М и АВМ.
У нас есть следующие равенства:
- АМ=А1М (по построению);
- ВМ=В1М (по построению);
Таким образом, основания треугольников А1В1М и АВМ равны.
Отсюда следует, что АВ=А1В1.
Таким образом, мы доказали, что АВ равно А1В1, когда плоскости альфа и бета параллельны.
Дано: a||b (плоскости альфа и бета параллельны).
Мы можем представить данную ситуацию в виде двух плоскостей, альфа и бета, которые расположены параллельно друг другу.
Введем точку М - точку пересечения отрезков А1В1 и АВ. Эта точка существует, так как ребро АВ находится на плоскости альфа, а ребро А1В1 находится на плоскости бета и они параллельны.
Давайте рассмотрим треугольники АВМ и А1В1М.
У данных треугольников у нас есть следующие равенства:
- МН=МА+АН (по свойствам векторов);
- МН=МВ+ВН (по свойствам векторов);
- АН=ВН (по построению, так как эти отрезки перпендикулярны плоскости альфа и параллельны плоскости бета);
- АМ=А1М (по построению, так как эти отрезки лежат на плоскостях альфа и бета соответственно);
- ВМ=В1М (по построению, так как эти отрезки лежат на плоскостях альфа и бета соответственно).
Теперь давайте сравним основания треугольников А1В1М и АВМ.
У нас есть следующие равенства:
- АМ=А1М (по построению);
- ВМ=В1М (по построению);
Таким образом, основания треугольников А1В1М и АВМ равны.
Отсюда следует, что АВ=А1В1.
Таким образом, мы доказали, что АВ равно А1В1, когда плоскости альфа и бета параллельны.