Войти Регистрация Спроси ai-bota

Вычисление интегралов с иррациональными выражениями

Вычисление интегралов с иррациональными выражениями

Ответ:

kosahevaluba

19.12.2020 20:41

a)

$\int \frac{x^3\mathrm{d}x}{\sqrt{x-1}} = I$

$\sqrt{x-1} = t 0$

x-1 = t^2

x = t^2 +1

$\mathrm{d}x = 2t\mathrm{d}t$

x^3 = (t^2 +1)^3

$I = \int \frac{(t^2+1)^3}{t}\cdot 2t\;\mathrm{d}t = 2\int(t^2+1)^3\;\mathrm{d}t =$

$= 2\int (t^6 + 3t^4 + 3t^2 + 1)\;\mathrm{d}t =$

$= 2\cdot(\frac{t^7}{7} + 3\cdot\frac{t^5}{5} + 3\cdot\frac{t^3}{3} + t)+C =$

$= \frac{2}{7}\cdot(x-1)^{\frac{7}{2}} + \frac{6}{5}\cdot(x-1)^{\frac{5}{2}} +$

$+ 2\cdot(x-1)^{\frac{3}{2}} + 2\cdot\sqrt{x-1} + C$

б)

$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{(x+1)^3}} =$

$= \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+1}+(x+1)\cdot\sqrt{x+1}} = I$

$\sqrt{x+1} = t 0$

x+1 = t^2

x = t^2 -1

$\mathrm{d}x = 2t\mathrm{d}t$

$I = \int\frac{2t\mathrm{d}t}{t+t^2\cdot t} = \int\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^2} =$

$= 2\int\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = 2\mathrm{arctg}t + C =$

$= 2\cdot\mathrm{arctg}(\sqrt{x+1}) + C$

в)

$\int\frac{\sqrt{x}\mathrm{d}x}{x+2} = I$

$\sqrt{x} = t$

x = t^2

$\mathrm{d}x = 2t\mathrm{d}t$

$I = \int\frac{t\cdot 2t\mathrm{d}t}{t^2+2} = 2\cdot\int\frac{t^2}{t^2+2}\;\mathrm{d}t =$

$= 2\cdot\int\frac{t^2 + 2 - 2}{t^2+2}\;\mathrm{d}t =$

$= 2\cdot\int(1 - \frac{2}{t^2+2})\;\mathrm{d}t =$

$= 2\cdot( t - 2\cdot\int\frac{\mathrm{d}t}{t^2+2}) + C =$

$= 2t - 4\cdot\int\frac{\mathrm{d}t}{t^2+2} + C =$

$= 2t - 2\sqrt{2}\cdot\mathrm{arctg}(\frac{t}{\sqrt{2}}) + C =$

$= 2\sqrt{x} - 2\sqrt{2}\cdot\mathrm{arctg}\sqrt{\frac{x}{2}} + C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

ANNAAFANASYEVA1

31.03.2021 13:30

Среднее арифметическое двух чисел 5.6 и x ,равно...

MashimaHiro

06.02.2021 04:46

Найди корни данного уравнения 36⋅y−4=−11+y6....

altynai0504

09.03.2020 16:59

найти значение выражения 143*(10^-4)^4 * (21*10^16)...

ПрофессорДикинсон

22.11.2020 23:18

В первом ящике-? конфетВо втором ящике-?, на 3,2 кг меньше чем в первом.В третьем ящике-?, в 1,6 больше чем в первомВсего-23,8 килограмм во всех ящиках....

RADIUM24

14.06.2021 01:46

В двух вагонах было поровну угля. Из 1 вагона выгрузили 6т.,а из 2 выгрузили 15т., в первом вагоне осталось в 3 раза больше угля,чем во 2 вагоне.Сколько тонн угля было в каждом...

Vladiko011

10.01.2023 01:05

Зайди значения виразу -5а-(а-6b), якщо b-a = -3...

Офелия12345

10.12.2020 14:12

Здравствуйте с решениями: Из цифр 0 3 4 5 составьте: а) трёзначные числа, делящиеся на 2 и 5 одновременно. 340;430;530;540;450 Б) Двузначные, делящиеся на 3: ;30;45;54 В) двузначные...

brekisbrekis

10.12.2022 23:03

Какок из перечисленных множеств, включается в множество натуральных четных чисел меньше 100 1) Множество чётных чисел 2)Множество цифр, делящихся на 2 3)Множество двузначных чисел,...

NasVest

26.01.2023 05:22

Вычислите длину окружности заданного радиуса и площадь круга, ограниченного этой окружностью: а) R=5,2 см; б) R=1,3 дм; в) R=0,007 м....

NanaxD

08.05.2022 02:02

Бірінші альбомда 26 фотосурет , ал екінші альбомда 32 фотосурет бар. Зере екінші альбомнан бірішісіне бірнеше фотосуретті ауыстырды. Содан кейін альбомдағы фотосуреттердің саны...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку