В
Все
У
Українська література
Г
Геометрия
Д
Другие предметы
Э
Экономика
Г
География
О
ОБЖ
М
Математика
М
МХК
Х
Химия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
У
Українська мова
О
Обществознание
Ф
Физика
А
Английский язык
А
Алгебра
И
История
Б
Беларуская мова
Б
Биология
М
Музыка
П
Право
И
Информатика
П
Психология
В
Видео-ответы
Н
Немецкий язык
Ф
Французский язык
О
Окружающий мир
Р
Русский язык
ainurka88akgmailcom
ainurka88akgmailcom
28.09.2022 19:50 •  Математика

решить дифференциальное уравнение y^2dx=(xy-x^2)dy
это однородное диф ур-е. т. е с заменой y=u*x и y'=u'x+u

Ответ:
5polinka
5polinka
14.12.2020 20:45

решение на фотографии


решить дифференциальное уравнение y^2dx=(xy-x^2)dy это однородное диф ур-е. т. е с заменой y=u*x и y
0,0(0 оценок)
Ответ:
lykuanenkoartem
lykuanenkoartem
14.12.2020 20:45

y^{2} \, dx = (xy - x^{2})\, dy ~~~ \Big| \cdot \dfrac{1}{(xy - x^{2})\, dx}

\dfrac{y^{2}}{xy - x^{2}} = \dfrac{dy}{dx}

y' = \dfrac{y^{2}}{xy - x^{2}}

Пусть f(x;~y) = \dfrac{y^{2}}{xy - x^{2}}. Тогда f(\lambda x;~\lambda y) = \dfrac{(\lambda y)^{2}}{\lambda x\lambda y - (\lambda x)^{2}} = \dfrac{\lambda^{2}y^{2}}{\lambda^{2}xy - \lambda^{2}x^{2}} =

=\dfrac{\lambda^{2} y^{2}}{\lambda^{2}(xy - x^{2})} =\lambda^{0}\dfrac{y^{2}}{xy - x^{2}}= \lambda^{0}f(x; ~ y).

Имеем дифференциальное уравнение, однородное относительно переменных.

Подстановка: y = ux, ~ y' = u'x + u, где u = u(x)

Имеем:

u'x + u = \dfrac{(ux)^{2}}{x\cdot ux - x^{2}}

u'x + u = \dfrac{u^{2}x^{2}}{ux^{2} - x^{2}}

u'x + u = \dfrac{u^{2}x^{2}}{x^{2}(u - 1)}

u'x = \dfrac{u^{2}}{u - 1} - u

u'x = \dfrac{u^{2} - u(u-1)}{u - 1}

u'x = \dfrac{u^{2} - u^{2} + u}{u - 1}

\dfrac{du}{dx} \cdot x = \dfrac{u}{u - 1} ~~~ \Big| \cdot \dfrac{dx}{x} \cdot \dfrac{u-1}{u}

\dfrac{u-1}{u}\,du = \dfrac{dx}{x}

\displaystyle \int \dfrac{u-1}{u}\,du = \int \dfrac{dx}{x}

\displaystyle \int \left(1 - \frac{1}{u} \right)\,du = \int \frac{dx}{x}

u - \ln |u| = \ln |x| + C

Обратная подстановка:

\dfrac{y}{x} - \ln \left|\dfrac{y}{x} \right| = \ln |x| + C

C = \ln \left|\dfrac{y}{x} \right| + \ln |x| - \dfrac{y}{x}

C = \ln \left|\dfrac{y}{x} \cdot x \right| - \dfrac{y}{x}

C = \ln \left|y\right| - \dfrac{y}{x}

ответ: C = \ln \left|y\right| - \dfrac{y}{x}

0,0(0 оценок)
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?