Войти Регистрация Спроси ai-bota

решить однородное дифференциальное уравнение нужно
4xy'=y lnx- y lny

Ответ:

dasha8872

02.12.2020 09:10

$4xy'=y \ln x- y\ln y$

$4xy'=y (\ln x- \ln y)$

$4xy'=y \ln \dfrac{x}{y}$

$4\cdot\dfrac{x}{y}\cdot y'= \ln \dfrac{x}{y}$

Замена:

$\dfrac{y}{x} =t$

$\Rightarrow y =tx$

$\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получаем уравнение:

$4\cdot\dfrac{1}{t}\cdot (t'x+t)= \ln \dfrac{1}{t}$

$4\cdot\dfrac{1}{t}\cdot (t'x+t)= -\ln t$

$4 (t'x+t)= -t\ln t$

$4 t'x+4t= -t\ln t$

$\dfrac{4xdt}{dx} =-t\ln t-4t$

$\dfrac{4dt}{t\ln t+4t} =-\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{4dt}{t\ln t+4t} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\int\dfrac{dt}{t(\ln t+4)} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\int\dfrac{d(\ln t)}{\ln t+4} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\int\dfrac{d(\ln t+4)}{\ln t+4} =-\int\dfrac{dx}{x}$

$4\ln|\ln t+4| =-\ln|x|+\ln C$

$\ln(\ln t+4)^4 =\ln\dfrac{C}{x}$

$(\ln t+4)^4 =\dfrac{C}{x}$

Обратная замена:

$\boxed{\left(\ln \dfrac{y}{x} +4\right)^4 =\dfrac{C}{x}}$ - общий интеграл уравнения

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

ПятьПятьПять

19.07.2022 16:44

Log₆15+log₆10-log₆(15+10)= log₂32+log₃7log₇3=...

Garik23123

22.02.2023 20:35

Провод длиной 142 см разрезали на три части длина второго куска в 3 раза меньше длинны первого, а длина третьего на 18 см меньше длины второго....

ffghh1gfdd

23.01.2023 12:43

Рабочая тетрадь второй класс стр 32 5...

ХацуноМико

28.11.2021 20:47

Ты конечно,помнишь,что равные фигуры имеют равные площади. площадь квадрата равна 16 клеткам.чему равна площадь красного треугольника? а площадь белого треугольника?...

VIDAL17

26.05.2020 21:17

Запишите целые числа ,которые от начала отсчета на числовой оси расположены на расстоянии 11 едениц...

lerochek6

23.01.2021 19:44

Вмагазине было три коробки с яблоками.в одной коробке было 52 кг яблок,во второй-на 12 кг меньше чем в первой,а в третьей коробке-на 20 кг больше чем во второй.сколько яблок было в...

MaxPlayTheme

27.11.2021 07:58

Найдите длину отрезка ав, если точка с лежит между точками а и в, длина отрезка вс равна 4 см 7 мм, а длина отрезка ас равна 7см 4мм...

Franikforever79

02.04.2022 15:18

Пересекает ли луч стороны пятиугольника...

Kadokawa

27.06.2021 04:15

Определить лежат ли точки а(2,-2,3) в(-1,0,1) с(8,-6,7) на одной прямой...

238064356

27.06.2021 04:15

Гончар виговив 27 горщикiв i 23 вази. пiсля випалювання в печi 6 виробiв потрicкалося. скiльки виробiв залишилося пiсля випалювання?...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку