Вычислите объем правильной треугольной усеченной пирамиды со сторонами основания а> b, боковое ребро которой наклонено к плоскости большего основания под углом альфа ответ: (а^3-b^3)/12)tgα
Продлим рёбра до пересечения так, чтобы образовалась неусечённая пирамида с основанием, равным а. Тогда объём усечённой пирамиды будет равен разности объёмов Va и Vb пирамид с основанием а и с основанием b. Найдём площадь основания правильной треугольной пирамиды с основанием х Площадь основания такой пирамиды равен Sосн = 1/4 · х² · √3 Проекция бокового ребра на основание Рпр = х/√3 Высота пирамиды Н = Рпр · tgα = x · tgα : √3 Объём пирамиды V = 1/3 · Sосн · Н = 1/3 · 1/4 · х² · √3 · x · tgα : √3 = = 1/12 · х³ · tg α Подставляем в эту формулу х = а и получаем Va = 1/12 · a³ · tg α Подставляем в эту формулу х = b и получаем Vb = 1/12 · b³ · tg α Объём усечённой пирамиды V = Va - Vb = 1/12 · (a³ - b³) · tgα ответ: 1/12 · (a³ - b³) · tgα
Тогда объём усечённой пирамиды будет равен разности объёмов Va и Vb пирамид с основанием а и с основанием b.
Найдём площадь основания правильной треугольной пирамиды с основанием х
Площадь основания такой пирамиды равен
Sосн = 1/4 · х² · √3
Проекция бокового ребра на основание Рпр = х/√3
Высота пирамиды Н = Рпр · tgα = x · tgα : √3
Объём пирамиды V = 1/3 · Sосн · Н = 1/3 · 1/4 · х² · √3 · x · tgα : √3 =
= 1/12 · х³ · tg α
Подставляем в эту формулу х = а и получаем Va = 1/12 · a³ · tg α
Подставляем в эту формулу х = b и получаем Vb = 1/12 · b³ · tg α
Объём усечённой пирамиды V = Va - Vb = 1/12 · (a³ - b³) · tgα
ответ: 1/12 · (a³ - b³) · tgα