Войти Регистрация Спроси ai-bota

в прямоугольном треугольнике АВС с прамым углом С проведены бис. AL и высотa CH. Найдите косинус угла ВАС, если НL//AC

Ответ:

sanyashoydokov

15.10.2020 16:26

Пусть $\angle BAC=\alpha$ , тогда $\angle BAC=\angle BHL=\alpha$ как соответственные.

$\angle CAL=\angle ALH$ как накрест лежащие при $AC \parallel HL$ и секущей . Следовательно, $\triangle AHL$ — равнобедренный, AH=HL .

$\triangle CAH=\triangle HLB$ по катету и острому углу ⇒ AC=HB;~ BL=CH .

Высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее геометрическое между проекциями катетов:

$HL^2=CL\cdot BL$

По свойству биссектрисы : $\dfrac{CL}{BL}=\dfrac{AC}{AB}$ . Тогда

$HL^2=\dfrac{AC\cdot BL^2}{AB}~~\Rightarrow~~ \left(\dfrac{HL}{BL}\right)^2=\dfrac{AC}{AB}~~\Rightarrow~~ {\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{HB}{AH+HB}\\ \\ \\ {\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\frac{AH}{HB}+1}~~\Rightarrow~~{\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\frac{HL}{HB}+1}=\dfrac{1}{\cos \alpha +1}$

Воспользуемся следующими тригонометрическими свойствами

${\rm ctg}^2\alpha=\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}$

$\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{1}{\cos\alpha+1}~~\Rightarrow~~\dfrac{\cos^2\alpha}{1-\cos\alpha}=1~~\Rightarrow~~ \cos^2\alpha+\cos\alpha-1=0$

Последнее уравнение решается как квадратное уравнение относительно $\cos \alpha$ .

D=1+4=5

$\cos \alpha=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$

Значение $\cos \alpha =\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$ — постороннее, поскольку косинус принимает значения от -1 до 1.

ответ: $\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}.$

в прямоугольном треугольнике АВС с прамым углом С проведены бис. AL и высотa CH. Найдите косинус угл

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

Ден2811

22.02.2021 19:45

Можно подробное решение 0,4(x – 3) + 2,5 = 0,5(4 + x);...

neverr

01.06.2020 14:29

Установи, какая точка имеет координату 6.ответ (используй латинскую раскладку): .. (6)...

nastakianka

29.09.2021 22:37

1)найдите площадь круга,диамет которого равен а)6см б)3дм в)12м2)найдите длину окружности, диаметр которой равен 6см; 3,5дм3)найдите диаметр окружности, если её...

Sauleorazbaeva1

18.04.2021 03:13

У антона было 500 р. Каждый день он тратил 10% этой суммы. Сколько рублей осталось у Антона через 6 дней? Для проведения химического опыта в колбу налили 900 г...

Vika17112003

11.05.2023 23:17

Создайте и решите задачи по этим чертежам. ...

Петя1134

21.01.2023 13:35

Из 20 фотоснимков для журнала отобрали четверть . Сколько фотоснимков поместятся в журнал ?...

Коугар

02.02.2023 01:59

Значение выражения какое больше: 0,3+5/6или (0,3+5/6)2...

gggg115gcgc

02.02.2023 01:59

Сестра прочитала - 8/12 всей книги Брат прочитал - 3/4 книги Сколько осталось прочитать каждому из детей?...

Besmertnay123

31.10.2020 12:19

Между двумя городами 150 км из городов противоположных направлениях выехали два автомобиля скорость первого автомобиля 80 км ч скорость второго автомобиля 86 км...

Dima340

02.10.2020 06:35

У=х+1. 2х+у=7. Решите систему с подставки.PLI...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку