Войти Регистрация Спроси ai-bota

Решите тригонометрическое уравнение

Решите тригонометрическое уравнение

Ответ:

Лизка250515

15.10.2020 16:18

$\displaystyle|cosx+sinx|=\sqrt2sin2x\\(cosx+sinx)^2=2sin^22x\\cos^2x+2sinxcosx+sin^2x=2sin^22x\\1+sin2x=2sin^22x\\2sin^22x-sin2x-1=0\\sin2x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\frac{1\pm3}{4}\\sin2x=1;sin2x=-\frac{1}{2}$

$\displaystyle sin2x=1\\2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;n\in Z\\x_1=\frac{\pi}{4}+\pi n;n\in Z\\\\sin2x=-\frac{1}{2}\\2x_2=-\frac{\pi}{6}+2\pi n\ \ \ \ \ \ \ \ \ 2x_3=\frac{7\pi}{6}+2\pi n;n\in Z\\x_2=-\frac{\pi}{12}+\pi n\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_3=\frac{7\pi}{12}+\pi n;n\in Z$

Проверяем найденные корни:

$\displaystyle x_1=\frac{\pi}{4}+\pi n\\|cos\frac{\pi}{4}+sin\frac{\pi}{4}|=\sqrt{2}sin\frac{\pi}{2}\\|\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}|=\sqrt2\\\sqrt2=\sqrt2$

Тождество соблюдается, корень подходит.

$\displaystyle x_2=-\frac{\pi}{12}+\pi n\\|cos\frac{\pi}{12}-sin\frac{\pi}{12}|\ne-\sqrt{2}sin\frac{\pi}{6}\\|\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}-\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}|\ne-\frac{\sqrt2}{2}\\|\frac{\sqrt2}{2}|\ne-\frac{\sqrt2}{2}\\\frac{\sqrt2}{2}\ne-\frac{\sqrt2}{2}$

Тождество не соблюдается, данный корень решением не является.

$\displaystyle x_3=\frac{7\pi}{12}+\pi n\\|cos\frac{7\pi}{12}+sin\frac{7\pi}{12}|\ne\sqrt{2}sin\frac{7\pi}{6}\\|cos(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12})+sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{12})|\ne\sqrt{2}sin\frac{7\pi}{6}\\|-sin\frac{\pi}{12}+cos\frac{\pi}{12}|\ne\sqrt{2}sin\frac{7\pi}{6}\\|-\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}+\frac{\sqrt3+1}{2\sqrt2}|\ne-\frac{\sqrt2}{2}\\|\frac{\sqrt2}{2}|\ne-\frac{\sqrt2}{2}\\\frac{\sqrt2}{2}\ne-\frac{\sqrt2}{2}$

Тождество не соблюдается, данный корень решением не является.

Общее решение:

$\displaystyle x=\frac{\pi}{4}+\pi n;n\in Z$

Решение, которое принадлежит промежутку:

$\displaystyle\frac{5\pi}{4}$

Решите тригонометрическое уравнение

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

olyakirnay

01.10.2020 06:07

A) дільник 8, а ділене е добутком чісел 4 і 6; б) зменшуване 42, а вид емник е часткою чисел 14 і 7; в) частку чисел 18 і 9 збільшити в 9 раз....

bajramova30

01.10.2020 06:07

Решить ребус : у в квадрате равно ау)) вот сам ребус: у2=ау))...

Nime15

01.10.2020 06:07

1для посева было приготовлено 25,2 т семян.в первый день на посев израсходовали 4/9 всех семян,а во второй-4/7 остатка.сколько семян осталось после двух дней посева? 2 в двух...

АмаХастла

01.10.2020 06:07

Объясните как округлять дроби а) до десятых б) до сотых в)до десятков....

человек9527

01.10.2020 06:07

Запиши уравнения и реши их. 1)неизвестное число умножить на частное чисел 1200 и 60 и получили числ 8420. 2)частное 1980 и неизвестного числа раздели на 30 и получи число...

Nastasia13z

01.10.2020 06:07

3класс решить с уравнения ! на участке витя насчитал по 15 кустов малины,крушины и орешника,а деревьев в 4 раза больше,чем кустарников. сколько деревьев на этом участке? надо...

vikafirsova

01.10.2020 06:07

Скорость первого бегуна 6м/с,а второго 8м/с.дистанция 100м.второй бегун начал свой бег на 7с позже,чем первый.какой бегун выиграет соревнование?...

dianasobol

01.10.2020 06:07

Имелась пачка бумаги! на перепечатывание одной рукописи израсходовали 3/5 пачки! на перепечатывание другой рукописи ушло 0/8 остатка! сколько листов бумаги было в пачке,если...

валерия821

01.10.2020 06:07

Вопрос на урок обж отровления сколько типов отровления профилактика и лечение !...

Дарья22031

22.01.2023 12:53

Линейная функция задана формулой: f(x)=kx+3,5. найдите значение k , если: f(8)=19,5 f-функция...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку