Через вершину A некоторого угла, равного 120◦, проведена окружность, пересекающая стороны угла в точках B и D, а его биссектрису — в точке C. Найти площадь четырехугольника ABCD, если сумма длин отрезков AB и AD равна 2.
Не теряя общности, положим AD ≤ AB. Опустим перпендикуляры CK и CM на стороны угла. Обозначим AD = x, DK = y.
Так как AC — биссектриса, точка C равноудалена от сторон угла, то есть CK = CM. Прямоугольные треугольники AKC и AMC равны по катету (CK = CM) и гипотенузе (AC — общая) ⇒ AK = AM = x + y.
Так как ∠DAC = ∠BAC, DC = BC как хорды, на которые опираются равные углы. Прямоугольные треугольники DKC и BMC равны по катету (CK = CM) и гипотенузе (DC = BC) ⇒ DK = BM = y.
По условию AB + AD = (x + y + y) + x = 2(x + y) = 2 ⇒ x + y = 1. Тогда AM = x + y = 1. В прямоугольном треугольнике AMC ∠ACM = 90° - ∠CAM = 90° - 60° = 30°. По теореме об угле в 30° AC = 2AM = 2.
√3
Пошаговое объяснение:
Не теряя общности, положим AD ≤ AB. Опустим перпендикуляры CK и CM на стороны угла. Обозначим AD = x, DK = y.
Так как AC — биссектриса, точка C равноудалена от сторон угла, то есть CK = CM. Прямоугольные треугольники AKC и AMC равны по катету (CK = CM) и гипотенузе (AC — общая) ⇒ AK = AM = x + y.
Так как ∠DAC = ∠BAC, DC = BC как хорды, на которые опираются равные углы. Прямоугольные треугольники DKC и BMC равны по катету (CK = CM) и гипотенузе (DC = BC) ⇒ DK = BM = y.
По условию AB + AD = (x + y + y) + x = 2(x + y) = 2 ⇒ x + y = 1. Тогда AM = x + y = 1. В прямоугольном треугольнике AMC ∠ACM = 90° - ∠CAM = 90° - 60° = 30°. По теореме об угле в 30° AC = 2AM = 2.