Математика: Найдите все полиномы Р(x), для которых

Найдите все полиномы Р(x), для которых

Ответ:

NeonMax

15.10.2020 15:59

Преобразуем: $P^2(x)=2P(2x^2-1)+2\Leftrightarrow \frac{P^2(x)}{2}=P(2x^2-1)+1$ . Сделаем замену: $x\to \frac{P(x)}{2}$ (полином имеет значение в любой точке), тогда: $\frac{P^2(\frac{P(x)}{2}) }{2}=P(\frac{P^2(x)}{2}-1)+1=P(P(2x^2-1))+1$ . Отсюда: $2(\frac{P(\frac{P(x)}{2} )}{2})^2= P(P(2x^2-1))+1$ , поскольку $2(\frac{P(\frac{P(x)}{2} )}{2})^2=\frac{P^2(\frac{P(x)}{2}) }{2}$ . Пусть $f_{k}$ обозначает примененную раз композицию функции $\frac{P(x)}{2}$ с самой собой. Аналогичным образом связана функция $g_{k}$ с функцией P(2x^2-1) . Продолжая вышеуказанные подстановки, приходим к равенству $2f_{k}^2=g_{k}+1,\; \forall k\in\mathbb{N}_{0}$ . Теперь: $g(2f_{k}^2-1)=2f^2(2f_{k}^2-1)-1$ , поскольку g(x)=2f(x)-1 (здесь $f,g=f_{0},g_{0}$ ). Но $g(2f_{k}^2-1)=g(g_{k})=g_{k+1}=2f_{k+1}^2-1$ , значит, $2f_{k+1}^2-1=2f^2(2f_{k}^2-1)-1 \Leftrightarrow f_{k+1}=\pm f(2f_{k}^2-1)$ , но старший коэффициент $f_{k}$ положителен, откуда $f_{k+1}=f(2f^2_{k}-1)$ . Пусть старший коэффициент $f_{k}$ равен $a_{k}$ . Предположим, что $a_{0}\neq 0$ . Посчитаем старший коэффициент слева: $f_{k+1}=f(f_{k})\Rightarrow a_{k+1}=a_{0}a_{k}^n$ , где — степень многочлена . Старший коэффициент справа равен старшему коэффициенту $f(2f_{k}^2)$ и равен $a_{0}\times2^n\times a_{k}^{2n}$ . Приравниваем: $2^na_{0}a_{k}^{2n}=a_{0}a_{k}^n \Rightarrow (2a_{k})^n=1 \Leftrightarrow a_{k}=1/2$ (поскольку $a_{0}\neq 0$ ). В частности, $a_{0}=1/2$ .

Заметим, что старший коэффициент P(x) равен $2^{n+1}$ (в этом несложно убедиться). Тогда $a_{0}=2^{n+1}/2=2^{n}=1/2$ , но такого натурального нет. Стало быть, $a_{0}=0$ , то есть P(x) константа. Пусть P(x)=c : $c^2-2=2c \Leftrightarrow c= 1\pm\sqrt{3}$ .