От Имеется полоска клетчатой бумаги длиной 10 клеток. В крайней правой её клетке стоит шашка. Двое играющих по очереди передвигают ее влево на одну или две клетки. Проигрывает тот, кому некуда ходить. а) Кто выигрывает в игре «Башe», если длина полоски составляет 13 клеток? б) А теперь в игре «Башe» можно сдвигать шашку на 3, 6, 9 или 12 клеток, а длина полоски — 40 клеток.

Пошаговое объяснение:

Стратегия второго  делать так, чтобы количество клеток слева от шашки было кратно трем. Перед ходом первого впереди 9 клеток, как бы он ни сходил второй всегда может сдвинуть шашку, так чтобы это соотношение выполнялось. Тогда последний отрезок будет составлять 3 клетки и второй игрок займет последнюю клетку. Для полоски в 13 клеток слева 12 свободных (кратно трем) и все предыдущие рассуждения повторяются.

Для варианта б) выигрышная стратегия существует у первого.

Все шаги кратны трем, поэтому мы можем заменить исходную задачу на задачу уменьшенную в три раза. Шашку можно сдвигать на 1,2,3,4 клетки а клеток всего 39/3=13. Так как 1,2,3,4 это остатки от деления на 5, то первый игрок первым ходом оставляет 10 левых клеток (кратно 5) и следующий ход второго добавляет до пяти клеток. Конечная ситуация - слева 5 клеток и ход второго.  Как бы он ни пошел, первый займет последнюю клетку.