Математика: Докажите тождество (см. вложение)

Рассмотрим слагаемое , .Это количество сочетаний из элементов по , повторенное столько же раз.Выстроим одну из комбинаций из элементов в строчку. Домножив на , получим квадрат элементов. То есть — это множество квадратов. Теперь построим квадратную таблицу (см.рис)В первой строке будут первые строчки большинства квадратов, кроме . Во второй строчке уже не будет , поскольку квадраты целиком умещаются в первой строчке. И т.д. Причем будет отсутствовать вычитаемое , т.к. этот квадрат содержит все строчки....

Докажите тождество (см. вложение)

Ответ:

dzyskristina503

15.10.2020 14:40

Рассмотрим слагаемое $kC_{n}^{k}$ , $1\leq k\leq n$ .

Это количество сочетаний из элементов по , повторенное столько же раз.

Выстроим одну из комбинаций из элементов в строчку. Домножив на , получим квадрат $k\times k$ элементов. То есть $kC_{n}^{k}$ — это множество квадратов. Теперь построим квадратную таблицу $n\times n$ (см.рис)

В первой строке будут первые строчки большинства квадратов, кроме $C_{n}^{0}$ . Во второй строчке уже не будет $C_{n}^{1}$ , поскольку квадраты $1\times C_{n}^{1}$ целиком умещаются в первой строчке. И т.д. Причем будет отсутствовать вычитаемое $nC_{n}^{n}$ , т.к. этот квадрат содержит все строчки.

Пусть искомая сумма . Сложив все строчки, получим $S=2^{n}n-nC_{n}^0-(n-1)C_{n}^1-...-C_{n}^{n-1}$ , поскольку $C_{n}^i=C_{n}^{n-i}$ , перепишем сумму: